Harjutus­ülesanded. Integraal

More like this
More options

Ülesanne 1

 Leia funktsiooni alg­funktsioon F (x), mis läbib punkti P (2; 5).f\left(x\right)=\frac{x^2-10x+21}{x-3}

  • C = 
Vihje
Lihtsusta kõigepealt integreeritavat murdavaldist.
Vastus

Algfunktsioon on .

Lahendus
  1. Lihtsusta kõigepealt integreeritavat murdavaldist.
    x 2 - 10 x + 21 x - 3 = x - 3 x - 7 x - 3 = x - 7
  2. Nüüd integreeri saadud avaldis.
    \int \left(x-7\right)\mathrm{d}x==\int x\ \mathrm{d}x+\int -7\mathrm{d}x=
    =\frac{x^2}{2}-7x+C​
  3. Kuna saadud funktsiooni graafik läbib punkti P(2; 5), leiame konstandi C väärtuse.
    5=\frac{2^2}{2}-7\cdot2+C
    C = 17​​
  4. Algfunktsioon F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-7x+17
More like this
More options

Ülesanne 2

Tasandil on parabool y = x2 + 2x + 5, sellele paraboolile kohal x0 = –2 tõmmatud puutuja ja sirge x = 1. Leia nende joontega piiratud kujundi pindala. Skitseeri joonis.

  • Puutuja võrrand 
  • Integreeritav lõpp­avaldis määramata integraalina
Vihje
1. Koosta puutuja võrrandi punkti ja tõusu järgi. 
2. Kujundi pindala arvutamiseks tuleb parabooli alusest pindalast lahutada puutuja alune pindala
lõigu [–2; 1] ulatuses.

Joonisel on parabool y = x2 + 2x + 5, selle puutuja ja sirge x = 1.

Vastus

Kujundi pindala on  ruutühikut.

Lahendus
  1. Arvutame vajalikud andmed puutuja võrrandi jaoks.
    ​Puutepunkti ordinaat y0 = (–2)2 + 2 ⋅ (–2) + 5 = 5.
    Puutuja tõus on k = y′​ (x0).
    ​y​′ = 2x + 2
    k​ = 2 ⋅ (–2) + 2 = –2
  2. Koostame puutuja võrrandi punkti ja tõusu järgi.​
    ​y – 5 = –2 (x + 2)
    y = ​–2x + 1
  3. Kujundi pindala arvutamiseks peame parabooli alusest pindalast lahutama puutuja aluse pindala lõigu [​–2; 1] ulatuses. Integraali rajad on selle lõigu otspunktid a = –2, b = 1.​
  4. Pindala määratud integraali vahena
    ​S=\int_{-2}^1\left(x^2+2x+5\right)\mathrm{d}x-
    -\int_{-2}^1\left(-2x+1\right)\mathrm{d}x=
    ​=\int_{-2}^1\left(x^2+4x+4\right)\mathrm{d}x=
    ​​ = x 3 3 + 2 x 2 + 4 x - 2 1
  5. Arvutame määratud integraali
    S=\frac{1^3}{3}+2\cdot1^2+4-
    -\left[\frac{\left(-2\right)^3}{3}+2\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)\right]=9 (ruutühikut)​​​
More like this
More options

Ülesanne 3

Leia kujundi pindala, kui seda piiravad järgmised jooned:

  1. hüperbool y=\frac{4}{x};
  2. sirge, mille sihivektor on \vec{s}=\left(1;\ 3\right) ning läbib punkti (–3; –8);
    • sirge võrrand 
    • sirge ja hüperbooli lõikepunkt 
  3. jooned x = 0, y = 0 ja x = e.

Pindalad

  • trapetsi lühem alus  ja pikem alus  ning kõrgus  ühikut
  • trapetsi pindala  ruutühikut
  • kõvertrapetsi määramata integraal
  • alumine raja  
  • ülemine raja 
Vihje
1. Alusta joonisest, siis on näha, kuhu kujund tekib. Sirge saad joonestada punkti ja sihivektori abil.
2. Selle kujundi pindala koosneb kahes osast: täisnurkse trapetsi pindalast S1 ja kõvertrapetsi pindalast S2. Täisnurkse trapetsi pikem haar läbib sirge ja hüperbooli lõikepunkti, mille koordinaatide leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem. 
3. Trapetsi pindala võib integreerimise asemel leida trapetsi pindala valemit kasutades.
Vastus

Kujundi pindala on  ruutühikut.

Joonis
Lahendus
  1. Alusta joonisest, siis on näha, kuhu kujund tekib. Sirge saad joonestada punkti ja sihivektori abil.
    ​\frac{x-x_1}{s_1}=\frac{y-y_1}{s_2}
    \frac{x-\left(-3\right)}{1}=\frac{y-\left(-8\right)}{3}
    ​​y = 3x + 1
  2. Selle kujundi pindala koosneb kahest osast: täisnurkse trapetsi pindalast S1 ja kõvertrapetsi pindalast S2. Täisnurkse trapetsi pikem haar läbib sirge ja hüperbooli lõikepunkti, mille koordinaatide leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem.
    ​Lahenda võrrandisüsteem
    y = 3 x + 1 y = 4 x
  3. Asendusvõttega lahendades saame ruutvõrrandi, mille lahendid on x_1=-\frac{4}{3},x2 = 1. Nendele vastavad y-koordinaadid on y1 = –3, y2 = 4. Graafikute lõikepunktidest \left(-\frac{4}{3};\ -3\right), (1; 4) sobib viimane.​
  4. Täisnurkse trapetsi pindala võime arvutada integreerides, aga lihtsam on siin kasutada trapetsi pindala valemit S=\frac{a+b}{2}\cdot h (trapetsi aluste poolsumma ja kõrguse korrutis).
    S_1=\frac{4+1}{2}\cdot1=2,5 (ruutühikut)
  5. S2 saame integreerides funktsiooni y=\frac{4}{x} rajast 1 rajani e.​
    S 2 = ∫ 1 e 4 x d x = 4 ln x   1 e = = 4ln (e) – 4ln (1) = 4​ (ruutühikut)
  6. Kõvertrapetsi pindala S = 2,5 + 4 = 6,5 (ruutühikut)
More like this
More options

Riigieksami ülesandeid

Kujund on piiratud y-teljega, parabooliga y = –0,5x2 + 2x + 2,5 ja sirgega y = 7 – x.

  1. Tehke joonis ja viirutage kirjeldatud kujund.
  2. Arvutage selle kujundi täpne pindala.
Vastus

Selle kujundi täpne pindala on  ruutühikut.

Joonis

Joonisel on funktsioonide y = 0,25x2 ja y=2-\frac{1}{4}x^2 graafikud.

Viirutage antud funktsioonide graafikutega piiratud kujund ja arvutage selle kujundi pindala.

Vastus

Kujundi pindala on  ruutühikut.

Kujundit piiravad jooned y = x2 – 6, y = x2 – 2x, x = –1.

  1. Tehke joonis ja viirutage antud joontega piiratud kujund.
  2. Sirge y = –2 jaotab kujundi kaheks osaks. Arvutage mõlema osa pindala.
Vastused

Pindalad on  ja  pindalaühikut.

Joonisel on funktsioonide f (x) = 1,5 sin x ja g (x) = πx – x2 graafikud lõigul [0; π].

  1. Leidke joonise abil, kumma funktsiooni väärtused on vahemikus (0; π) suuremad. Lohistage joonisele nende funktsioonide tähised.
  2. Arvutage integraal \int_0^{\pi}\left(1,5\sin x\right)dx.
    Valige kujund, mille pindala selle integraali abil leidsite.
  • f ( x )
  • g ( x )
Vastused
  1. Vahemikus [0; π] on>
  2.  (pindalaühikut)

Joonisel on sirge y = x ja parabool y = x2 – 4x + 4. Arvutage joonisel värvitud kujundi pindala.

Vastus

 pindalaühikut

  1. Kõvertrapetsit K piiravad jooned y = x2 – 4x + 6; y = 1; x = 1 ja x = 4. Joonestage ja viirutage kõvertrapets K.
  2. Arvutage kõvertrapetsi K pindala.
Vastused
  1. Kõvertrapetsi K pindala on
      pindalaühikut.
Joonis

Joonisel on ruutfunktsiooni f (x) = ax2 + bx graafik ja x-teljega paralleelne sirge s, mis läbib funktsiooni f (x) graafiku haripunkti H (–3; 9).

  1. Arvutage kordajate a ja b väärtused ning leidke sirge s võrrand.
  2. Arvutage värvitud kujundi, mida piiravad parabool, sirge s ja y-telg, pindala.
Vastused
  1. Kordajad:



    Sirge võrrand  
  2. S =  ruutühikut.

Joonestage koordinaat­teljestikku sirged y=-\frac{1}{2}x+2 ja x = –5.

  1. Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega.
  2. Arvutage viirutatud kujundi pindala.
Vastused
  1. S =  ruutühikut.
Joonis

Joonisel on funktsioonide f (x) = –x2 + 6x – 5 ja g(x) = 5 – x graafikud.

  1. Viirutage antud joontega piiratud kujund.
  2. Arvutage selle viirutatud kujundi pindala.
Vastus

Selle kujundi pindala on  ruutühikut.

Joonis
More like this
More options