Kolmnurkse põhjaga püramiidid
Vaatame kolme kolmnurkset püramiidi:
- korrapärane kolmnurkne püramiid
- mittekorrapärane, aga võrdsete külgservadega püramiid
- mittekorrapärane püramiid, mille külgtahkude kõrgused on võrdsed
Pane tähele, kui ülesandes ei ole öeldud, et püramiid on korrapärane, siis ta seda üldjuhul ka ei ole.
A. Korrapärane kolmnurkne püramiid
Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrguse aluspunkt on põhja mediaanide lõikepunktis. See punkt on ühtlasi põhjaks oleva võrdkülgse kolmnurga nii sise- kui ka ümberringjoone keskpunkt. Seetõttu on põhja kõrguse järgi lihtne leida nende ringjoonte raadiuseid või raadiuste järgi põhja kõrgust, sest mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani tipust alates suhtes 2:1.
Lahendamise käigus tuleb püramiidist leida ja välja joonistada täisnurksed kolmnurgad, mille lahendamine viib meid samm-sammult vastuseni.
Jäta meelde!
Täienda jooniseid nii, et tekiksid täisnurksed kolmnurgad ning joonesta need välja. Nende kolmnurkade kaudu on lihtne lahendada geomeetriaülesandeid.
Ülesanne 1
Leia korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala, kui põhiserv on 6 cm ning nurk külgtahu ja põhja vahel 30°.
- põhja kõrgus
cm cm cm
Vihje
1. Põhja kõrguse võib arvutada Pythagorase teoreemi või siinuse abil.
2. Sise- ja välisringjoone raadiuste leidmiseks kasuta mediaani omadust.
- püramiidi kõrgus H = cm
cm2
Vihje
Vastused
Püramiidi ruumala on
Lahendus
- Põhja kõrguse võib arvutada Pythagorase teoreemi või siinuse abil.
\sin\left(60\degree\right)=\frac{h}{6}, h=6\cdot\sin60\degree=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} (cm) - Sise- ja välisringjoone arvutamiseks kasutame mediaanide omadust
r=\frac{h}{3}, r=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} (cm)R=\frac{2}{3}h, R=\frac{2\cdot3\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} (cm) - Püramiidi kõrguse saab täisnurksest kolmnurgast, mille kaatetid on siseringjoone raadius r ja püramidi kõrgus H ning hüpotenuusiks apoteem m, mis moodustab põhja kõrgusega nurga 30°.
\tan\left(30\degree\right)=\frac{H}{\sqrt{3}},
H=\tan30\degree\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=1 (cm) S_{\mathrm{p}}=\frac{6\cdot3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3} (cm2)V=\frac{9\sqrt{3}\cdot1}{3}=3\sqrt{3} (cm3)
1B. Võrdsete külgservadega kolmnurkne püramiid
Vaatame nüüd püramiidi, mille külgservad on võrdsed, aga põhi pole korrapärane kolmnurk. Interaktiivsel joonisel näed kõigepealt korrapärase püramiidi pealtvaadet.
Korrapärase kolmnurkse püramiidi tipp T, kõrguse aluspunkt T’ ja mediaanide lõikepunkt M on pealtvaatel ühes ja samas kohas (T ≡ T’ ≡ M). Liuguritega saad muuta põhitahu kahe tipu asukohta nii, et põhiservad muutuvad, aga kolmnurga ümberringjoon jääb samaks.
Jäta meelde!
Võrdsete külgservadega kolmnurkse püramiidi kõrguse aluspunkt on põhja ümberringjoone keskpunktis.
Ülesanne 2
Püramiidi põhi on võrdhaarne kolmnurk alusega 12 cm ja kõrgusega 18 cm. Püramiidi kõik kolm külgserva on 26 cm. Arvuta selle püramiidi ruumala.
- Sp = cm2
cm - R = cm
- H = cm
Vihje
Joonesta välja täisnurkne kolmnurk, mille moodustavad külgserv, kõrgus ja ümberringjoone raadius. Viimase leidmiseks võid kasutada kolmnurga pindala valemit
Kõrgus H arvuta Pythagorase teoreemist, kus k on külgserv.
H2 + R2 = k2
Vastus
V = cm3
Abijoonised
Jäta meelde!
Kui püramiid pole korrapärane, siis kõrguse aluspunkt EI OLE mediaanide lõikepunktis. Mediaanide lõikepunkt on kõrguse aluspunktiks vaid korrapärase kolmnurkse püramiidi puhul.
Lahendus
Ruumala arvutamisel on vaja teada põhja pindala ja kõrgust.
S\mathrm{p}=\frac{12\cdot18}{2}=108\ \mathrm{\left(cm^2\right)} - Kolmnurga haarad
b=c=\sqrt{18^2+\left(\frac{12}{2}\right)^2}=\sqrt{360}= =6\sqrt{10}\ \mathrm{\left(cm\right)} - Ümberringjoone raadiuse saab arvutada valemist
S=\frac{abc}{4R},\ R=\frac{abc}{4S} R=\frac{12\cdot6\sqrt{10}\cdot6\sqrt{10}}{4\cdot108}=10\ \mathrm{\left(cm\right)} - Püramiidi kõrguse saab täisnurksest kolmnurgast
H^2+R^2=k^2,\ H=\sqrt{k^2-R^2}
H=\sqrt{26^2-10^2}=24\ \mathrm{\left(cm\right)} - Ruumala
V=\frac{108\cdot24}{3}=864\ \mathrm{\left(cm^3\right)}
Võrdsete külgtahkude kõrgustega kolmnurkne püramiid
Vaatame nüüd püramiidi, mille kõrguse aluspunkt ei ole ümberringjoone keskpunktis.
Joonisel on võrdhaarse kolmnurga kujulise põhjaga püramiidi pealtvaade. Muuda liuguri abil põhja haarasid ja näed, kuidas sinise kõrguse aluspunkti ja punase mediaanide lõikepunkti asukohad muutuvad. Kuna kolmnurk on võrdhaarne, on tipunurga poolitaja ja sellest tipust tõmmatud mediaan samas kohas.
Jäta meelde!
Kui punkt kolmnurga sisepiirkonnas asub kõikidest servadest võrdsetel kaugustel r, siis asub ta nurgapoolitajate lõikepunktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Kaugus r on siis siseringjoone raadius.
Kolmnurkse püramiidi kõrguse aluspunkt asub põhja siseringjoone keskpunktis, kui külgtahkude kõrgused on võrdsed või külgtahkude ja põhja vahelised nurgad on võrdsed.
Ülesanne 3
Püramiidi põhi on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 12 cm ja kõrgus 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad põhitahuga nurga 30°. Arvuta selle püramiidi kõrgus ja külgpindala.
- Sp = cm2
- p = cm
- r = cm
Vihje
S = pr, kus p on pool ümbermõõtu.
cm
Vihje
Kasuta täisnurkset kolmnurka, mille kaatetiteks on siseringjoone raadius ja püramiidi kõrgus ning hüpotenuusiks apoteem. Apoteemi ja siseringoone raadiuse vaheline nurk on 30°.
Kõikide külgtahkude kõrgused on võrdsed, siis piisab ainult ühe sellise leidmisest.
Vastused
Abijoonised
Lahendus
Vaatame täisnurkseid kolmnurki, mille üks kaatet on püramiidi kõrgus ja hüpotenuus külgtahu kõrgus. Kuna nurk külgtahu kõrguse ja põhja vahel on kõikide tahkude puhul sama, siis peavad ka külgtahkude kõrgused võrdsed olema. Seetõttu peavad võrdsed olema ka kolmnurkade teised kaatetid. Need osutuvad aga kolmnurga siseringjoone raadiusteks. Järelikult on antud juhul kõrguse aluspunkt põhja siseringjoone keskpunktis. Siseringjoone raadiuse saab lihtsalt leida kolmnurga pindala valemist S = pr, kus p on pool ümbermõõtu.
S\mathrm{p}=\frac{12\cdot8}{2}=48\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
\mathrm{haarad}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{\left(cm\right)}
r=\frac{S}{p} r=\frac{48}{0,5\left(10+10+12\right)}=3\ \left(\mathrm{cm}\right) - Püramiidi kõrgus
\tan30\degree=\frac{H}{r},\ H=\tan30\degree\cdot r H=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot3=\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)} - Külgpindala arvutamiseks tuleb leida külgtahu kõrgus, milleks saad kasutada sama kolmnurka, mille järgi leidsime kõrguse. Kuna kõikide külgtahkude kõrgused on võrdsed, siis piisab ainult ühe sellise leidmisest.
m=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+3^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
S\mathrm{_k}=2\cdot\frac{10\cdot2\sqrt{3}}{2}+\frac{12\cdot2\sqrt{3}}{2}= =20\sqrt{3}+12\sqrt{3}=32\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
Ülesanne 4
Püramiidi põhi on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 20% võrra pikem haarast ja ümbermõõt on 16 cm. Selle püramiidi külgtahkude ja põhja vahelised nurgad on võrdsed ning tipp on põhjast 2 cm kaugusel. Arvuta selle püramiidi külgpindala.
- a = cm
- b = cm
- h = cm
- r = cm
- m = cm
Vihje
Vastus
Sk = cm2
Lahendus
- Leiame püramiidi põhjaks oleva võrdhaarse kolmnurga aluse ja haara.
P = 2b + 1,2b
3,2b = 16
b = 5 cm
a = 5 · 1,2 = 6 (cm) - Põhja kõrguse leidmiseks kasutame Pythagorase teoreemi.
h=\sqrt{5^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{\left(cm\right)} - Kuna kõrguse aluspunkt on sellel püramiidil siseringjoone keskpunktis, leiame siseringjoone raadiuse.
S_{\mathrm{p}}=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \mathrm{\left(cm^2\right)} r=\mathrm{\frac{12}{8}=1,5\ \left(cm\right)} - Külgtahu kõrgus
m=\sqrt{2^2+1,5^2}=2,5\ \mathrm{\left(cm\right)} - Külgpindala
S\mathrm{_k=2\cdot\frac{5\cdot2,5}{2}+\frac{6\cdot2,5}{2}}`=20\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
- Service provided by Star Cloud LLC