Harjutus­ülesanded. Korrapärased kehad

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Korrapärase nelinurkse prismakujulise karbi põhja pindala on 256 cm2 ja külgpindala on 576 cm2.

  1. Arvuta selle karbi põhiserva pikkus.
Vihje
Korrapärase nelinurkse prisma põhjaks on korrapärane nelinurk ehk ruut.
  1. Leia karbi kõrgus.
Vihje
Kõrguse saad külgpindalast, sest
Sk = PH, kus P = 4a on põhja ümbermõõt.
  1. Mitu liitrit mahutab see karp?
  1. Mitu ruutsentimeetrit pappi on vaja selle karbi valmistamiseks? Kuna voltimiseks ja kleepimiseks kulub ka materjali, siis tuleb arvestada, et materjali tuleb osta vähemalt 20% rohkem. Ümarda ühelisteni.
    • St =  cm2
Vihje
Kuna on teada, et materjali tuleb osta 20% rohkem kui on pindala, siis on karbi täispindala 100% ja osta tuleb 120% .
  1. Sellesse karpi tahetakse pakkida silindrikujuline kaaneta kauss, mille külgpindala on 407 cm2 ja kõrgus 8 cm. Kas see kauss mahub karpi?
    • d ≈  cm
Vihje
Et teada saada, kas kauss karpi mahub, tuleb leida kausi põhja läbimõõt, mis ei tohi ületada karbi külje pikkust. Kõrguse poolest peaks kauss mahtuma.
Vastused
  1. a =  cm
  2. H =  cm
  3. V =  liitrit
  4. Pappi on vaja vähemalt  cm2.
  5. Kauss karpi, sest kausi diameeter on karbi põhja läbimõõdust
Lahendus
  1. Korrapärase nelinurkse prisma põhjaks on korrapärane nelinurk ehk ruut.
    ​Sp = a2
    a2 = 256
    a = 16 (cm)
  2. Kõrguse saab külgpindalast, sest Sk = PH, kus P = 4a on põhja ümbermõõt.​​
    H = 576 : (4 ⋅ 16) ​= 9 (cm)
  3. ​V = SpH
    V = 256 ⋅​ 9 = 2304 (cm3) = 
    ​= 2,304 dm3 = 2,304 l
    1 l = 1 dm3 = 1000 cm3
  4. Kuna on teada, et materjali tuleb osta 20% rohkem kui on pindala, siis on karbi täispindala 100% ja osta tuleb 120%.
    St = 2 ⋅ 256 + 576 = 1088 (cm2)
    1088 cm2 – ​100%
    x cm2  –​ 120%​
    ​x=\frac{120\cdot1088}{100}=1305,6\approx1306 (cm2)
  5. Et teada saada, kas kauss karpi mahub, tuleb leida kausi põhja läbimõõt, mis ei tohi ületada karbi külje pikkust. Kõrguse poolest peaks kauss mahtuma.
    Sk = PH, P = 2πR = πd
    407 = ​πd ⋅ 8
    ​d=\frac{407}{8\pi}\approx16,2 (cm)
    ​Kauss ei mahu karpi, sest kausi põhja läbimõõt on karbi külje pikkusest (0,2 cm) suurem.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 10\sqrt{3}\ \mathrm{m} ning püramiidi apoteemi ja kõrguse vaheline nurk on 30°. Leia püramiidi põhja ja külgserva vahelise nurga β siinus. Arvuta püramiidi kõik pindalad ja ruumala.

  • p
  • H
  • m
  • k
  • r
  • a
Korrapärane nelinurkne püramiid
Püramiidi telglõige mööda apoteeme r
Vihje
1. Püramiidi põhja apoteem r on täisnurkses kolmnurgas üks kaatet, kõrgus teine kaatet (vaata telglõike joonist).
2. Püramiidi apoteem m on täisnurkses kolmnurgas hüpotenuus.
3. Külgserv on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, kui kaatetid on apoteem m ja pool põhiserva.
4. Nurk β külgserva ja põhja vahel on kõrguse vastasnurk täisnurkses kolmnurgas külgedega H, R, k, kus R on põhja ümberringjoone raadius ehk pool põhja diagonaalist (joonesta telglõige mööda külgservi).
  • Põhja apoteem r =  m
  • Apoteem m =  m
  • Külgserv  m
Vastused

Külgserva ja põhja vahelise nurga siinus: 
Sp =  m2
Sk =  m2
St =  m2
 m3

Lahendus
  1. Püramiidi põhja apoteem r on täisnurkses kolmnurgas üks kaatet, kõrgus teine kaatet.
    \tan30\degree=\frac{r}{10\sqrt{3}}\Rightarrow
    ​r=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot10\sqrt{3}=10\ \mathrm{\left(m\right)}
  2. Püramiidi apoteem m on täisnurkses kolmnurgas hüpotenuus.​
    ​\cos\left(30\degree\right)=\frac{10\sqrt{3}}{m}\Rightarrow
    ​m=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20\ \mathrm{\left(m\right)}
  3. Külgserv on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, kui kaatetid on apoteem m ja pool põhiserva \frac{a}{2}=r (joonesta külgtahk).
    ​k=\sqrt{m^2+r^2}
    ​k=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}
    =10\sqrt{5}\ \left(\mathrm{m}\right)
  4. Nurk β külgserva ja põhja vahel on kõrguse vastasnurk täisnurkses kolmnurgas külgedega H, R, k, kus R on põhja ümber­ring­joone raadius ehk pool põhja diagonaalist R=\frac{d}{2} (joonesta telglõige mööda külgservi).​
    \sin\mathrm{\beta}=\frac{H}{k},
    ​​\sin\mathrm{\beta}=\frac{10\sqrt{3}}{10\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{0,6}\
  5. Püramiidi põhjaks on ruut.
    Sp = a2 ⇒ Sp = 202 = 400 (m2)​
  6. Kasuta korrapärase püramiidi külgpindala valemit. n = 4, sest põhjaks on korrapärane nelinurk.​
    S_k=\frac{nam}{2}\Rightarrow\ S_k=\frac{4\cdot20\cdot20}{2}=
    ​= 800 (m2)​
  7. Täispindala leidmiseks liida põhja pindala ja külgpindala.
    St​ = Sk + Sp ⇒St = 800 + 400 = 1200 (m2)
  8. Püramiidi ruumala on kolmandik sama suure põhjaga ning sama kõrge püstprisma ruumalast.
    ​V=\frac{S_pH}{3}\Rightarrow\ V=\frac{400\cdot10\sqrt{3}}{3}=
    ​=\frac{4000\sqrt{3}}{3}\ (m3)
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

Kolmnurk külgedega 10 cm, 17 cm, 21 cm pöörleb ümber pikima külje. Leia tekkinud pöördkeha ruumala ja täispindala.

  • kolmnurga pindala S =  cm2
  • raadius R =  cm
  • Sk1 = π cm2
  • Sk2 = π cm2
Vihje
Tegemist on kaksik­koonusega, millel on ühine põhi. Ühe osa moodustaja on 10 cm , teise osa moodustaja 17 cm ja kõrguste summa 21 cm .

Nende ühine raadius on selle kolmnurga pikimale küljele tõmmatud kõrgus, mille leidmiseks tuleb leida selle kolmnurga pindala.
* Üks võimalus on pindala leida Heroni valemiga.
* Teine võimalus on arvutada koosinus­teoreemiga üks nurk ning selle abil pindala arvutada.

Kõrguse leidmiseks võib aga ka lahendada võrrandisüsteemi, kus kolmnurga kõrgus on täisnurksete kolmnurkade ühine kaatet.
Vastused

 (cm2)
 (cm3)

Lahendus
Kaksikkoonus
  1. Tegemist on kaksik­koonusega, millel on ühine põhi. Nende ühine raadius on selle kolmnurga pikimale küljele tõmmatud kõrgus, mille leidmiseks tuleb leida selle kolmnurga pindala. Üks võimalus on pindala leida Heroni valemiga. ​Teine võimalus on arvutada koosinusteoreemiga üks nurk ning selle abil pindala arvutada. ​Kõrguse leidmiseks võib aga ka lahendada võrrandisüsteemi, kus kolmnurga kõrgus on täisnurksete kolmnurkade ühine kaatet.
  2. Kolmnurga pindala leidmine Heroni valemiga:
    S=\sqrt{24\cdot3\cdot7\cdot14}=84 (cm2)
    S=\frac{ah}{2}\Rightarrow\ h=R=\frac{2S}{a}
    ​​​R=\frac{168}{21}=8 (cm)
  3. Kaksikkoonuse pindala koosneb kahest külgpindalast.
    Sk = π​Rm
    Sk1 = ​π ⋅ 8 ⋅ 10 = 80π (cm2)
    Sk2 = ​π ⋅ 8 ⋅ 17 = 136π (cm2)
    S = ​80π + 136π = 216π (cm2)
  4. Ruumala on kahe koonuse ruumalade summa.
    V=\frac{\pi R^2H_1}{3}+\frac{\pi R^2H_2}{3}=
    =\frac{\pi R^2}{3}\left(H_1+H_2\right)​
    Kuna H1 + H2 = 21 cm, ei pea me kummagi koonuse kõrgust välja arvutama. Kui vaja, saaks seda teha Pythagorase teoreemi abil.
    H12 + R2 = m12
    H22 + R2 = m22
    Niisiis,​​
    V=\frac{\pi\cdot8^2\cdot21}{3}=448\pi (cm3)
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesandeid

Kolmnurga küljed on 3 dm ja 5 dm ning nendevaheline nurk on 120°. Kolmnurk pöörleb ümber pikima külje.

Leidke tekkinud pöördkeha pindala ja ruumala.

  • kolmnurga kolmas külg  dm
  • kolmnurga täpne kõrgus 
Vastused

Pöördkeha pindala  dm2 (kirjuta vastus kujul\frac{a\pi\sqrt{ }}{b}, kus a ja b on arvud).
Pöördkeha ruumala  dm3

Silindri ruumala on \frac{250\pi}{\sqrt{3}}\mathrm{cm^3} ja silindri telglõike diagonaal moodustab silindri põhjaga nurga 30°. Koonusel on selle silindriga ühesugune põhi ning silindri ja koonuse täispindalad on võrdsed. Arvutage koonuse kõrgus täpsusega 10–1 cm.

  • silindri raadius r =  cm
  • silindri kõrgus  cm
  • koonuse moodustaja  cm
Vastus

Koonuse kõrgus on ligikaudu  cm.

Püramiidi EABCD põhjaks on ristkülik ABCD, mille diagonaalide vaheline nurk on 60° ning diagonaali ja lühema külje pikkuste summa on 36 m. Püramiidi kõrgus toetub ühte ristküliku tippu. Püramiidi pikim külgserv moodustab põhjaga nurga 30°. Tehke ülesande tekstile vastav joonis ja arvutage püramiidi täpne ruumala.

  • Ristküliku
    lühem külg a =  m
    pikem külg  m
  • Püramiidi kõrgus  m
Vastus

V =  m3

Joonis

Püramiidi EABCD põhi on ruut ABCD. Püramiidi külgserv DE on ka püramiidi kõrgus. Püramiidi külgtahu ADE pindala on 18\sqrt{3}\mathrm{\ cm^2} ja külgserv AE moodustab põhitahuga nurga 60°. Arvutage külgserva BE täpne pikkus ning selle külgserva ja põhitahu vaheline nurk.

  • AB =  cm
  •  cm
  •  cm
Vastused

 cm
α ≈ 

Korrapärane kolmnurkne püstprisma, mille põhiserv on 12 cm ja ruumala 540\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}, on lõigatud kaheks osaks tasandiga, mis läbib prisma üht külgserva ja jaotab põhiserva suhtes 3:5 (vt joonist).

Arvutage lõikamise tulemusel tekkinud suurema ruumalaga kolmnurkse püstprisma külgpindala täpne väärtus.

  • H =  cm
  • Suurema prisma põhiservad alates vähimast
    , ,  cm.
Vastus

Suurema prisma külgpindala on  cm2.

Püramiidi KABCD põhjaks on ruut ABCD. Püramiidi külgtahk KAB on risti põhjaga. Selle külgtahu kõrgus FK jaotab lõigu AB nii, et lõikude AF ja BF pikkused suhtuvad nagu 1:2. Püramiidi pikim külgserv KC pikkusega \sqrt{242}\ \mathrm{cm} moodustab püramiidi põhjaga nurga 45°. Arvutage püramiidi KABCD ruumala.

  • Püramiidi kõrgus  cm
  •  cm2
Vastus

Püramiidi ruumala on  cm3.

Seotud sisu
Muud tegevused