Eksponent­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

Näide 1.

Kui panka pandi alg­kapital 10 eurot ja pank maksab aastas 9% intressi, siis on n aasta lõpul pangas raha­summa y=10\cdot\left(1+\frac{9}{100}\right)^n ehk y = 10 · 1,09n (eurot), kus n ∈ N. Et siin on muutuja n igale väärtusele seatud vastavusse y väärtus, siis on tegemist funktsiooniga. Konstrueerime saadud funktsiooni graafiku.

Funktsiooni väärtuste tabel on järgmine:

Märgime arvu­paaridele vastavad punktid koordinaat­tasandile. Tulemuseks on graafik (joonis 2.37). Punkte sujuva joonega ühendada ei tule, sest argument n saab vaid naturaal­arvulisi väärtuseid.

Joon. 2.37

Kui näites 1 saadud funktsiooni korral kordaja 10 tähistada tähega c, sulgudes olev avaldis tähistada tähega a, see­juures a > 0 ja a ≠ 1 ning astendaja n asendada argumendi tähisega x, mis võib saada kõik­võimalikke reaal­arvulisi väärtusi, siis olema jõudnud uue funktsioonini, mida defineeritakse järgmiselt:

funktsiooni y = cax, kus a > 0, a ≠ 1, x ∈ R, nimetatakse eksponent­funktsiooniks.

Kui lähtuda mingi suuruse (näiteks radioaktiivse aine või konkreetse linna rahva­arvu) liit­protsendilisest kahanemisest valemi A_n=a\left(1-\frac{p}{100}\right)^n järgi, jõuaksime samal moel eksponent­funktsioonini y = cax, kus oleks aga astme alus 0 < a < 1.

Näide 2.

Funktsioonid y = 2x, y = 0,6x, y = 2,34x, y = 5 · 0,9x on eksponent­funktsioonid.

Näide 3.

Kirjeldagu eksponent­funktsioon y = 100 · 1,025x raha kasvamist pangas aastate jooksul, s.t x ∈ N. Kui suur oli panka pandud summa? Mitu protsenti maksab pank aastas intressi? Kui suur raha­summa on pangas 8 aasta möödudes?

Panka pandi c = 100 eurot. Et astme alus 1,025=1+\frac{p}{100}, siis p = 2,5% ja 8. aasta lõpuks on pangas y = 100 · 1,0258 = 121,84 (eurot).

Edas­pidi piirdume põhiliselt funktsioonidega kujul y = ax.

Eksponent­funktsiooni määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk R,
​s.t X = R ehk –∞ < x < +∞.

Eksponent­funktsiooni y = ax omadusi.

1. Eksponent­funktsiooni positiivsus­piirkond ühtib tema määramis­piirkonnaga (X+ = R), negatiivsus­piirkond puudub (X– = ∅).

See on tõe­poolest nii, sest positiivse arvu a aste ax on alati positiivne.

2. Eksponent­funktsioonil puuduvad null­kohad.

Nimetatud omadus järeldub otseselt eelnevast omadusest.

3. Eksponent­funktsiooni graafik läbib punkti A(0; 1).

Tõepoolest, kui x = 0, siis y = a0 = 1.

4. Eksponent­funktsiooni graafik läbib punkti B(1; a).

Tõepoolest, kui x = 1, siis y = a1 = a.

5. Kui a > 1, siis eksponent­funktsioon on kasvav X↑ = R;
​kui 0 < a < 1, siis eksponent­funktsioon on kahanev, X↓ = R.

Eksponent­funktsiooni y = ax graafikud sõltuvalt sellest kas a > 1 või 0 < a < 1 on joonistel 2.38 ja 2.39.

Joon. 2.38
Joon. 2.39

Joonistelt 2.38 on näha, et

a > 1 korral argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel (x → ∞) kasvavad ka funktsiooni y = ax väärtused tõkestamatult (y → ∞).

Joonise 2.39 korral on aga vastu­pidi:

kui 0 < a < 1, siis argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel (x → ∞) funktsiooni y = ax väärtused vähenevad ja lähenevad tõkestamatult nullile (y → 0).

Sama­moodi on ka joonisel 2.38: kui liikuda piki x-telge vasakule (s.t x → –∞), siis funktsiooni väärtused vähenevad ja lähenevad tõkestamatult nullile (y → 0).

Näide 4.

Kui y = 5x, siis andes argumendile x järjest väiksemaid (ka negatiivseid) väärtusi, saame järjest väiksemad funktsiooni väärtused: kui x on 2; –3; –8, on 5x väärtused 25; 0,008; 0,00000256.

Sirget, millele funktsiooni graafik (joon) tõkestamatult läheneb, nimetatakse selle funktsiooni graafiku (joone) asümptoodiks. Seega on mõlemal joonisel eksponent­funktsiooni y = ax graafiku asümptoodiks x-telg.

Eksponent­funktsiooni y = ax määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk, s.t X = R ja muutumis­piirkonnaks positiivsete reaal­arvude hulk, s.t Y = R+.

Näide 5.

Konstrueerime funktsioonide y=2^x ja y=\left(\frac{1}{2}\right)^x graafikud.

Selleks märgime koordinaat­tasandile punktid, mis vastavad tabelis olevatele arvu­paaridele, ning ühendame need punktid sujuva pideva joonega. Vastavad graafikud on joonistel 2.40 ja 2.41.

Joon. 2.40
Joon. 2.41

Näitest 5 lähtudes võime väita, et

y=ax ja y=(1a)x graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes.

Kuidas muutub funktsiooni y = ax graafiku asend koordinaat­teljestikus suuruse a kasvades (kahanedes), näeb joonistelt 2.42 (a > 1 korral) ja 2.43 (0 < a < 1 korral).

Joon. 2.42
Joon. 2.43

Näide 6.

Leiame jooniste 2.40 ja 2.41 abil vastavate funktsioonide y=2^x ja y=\left(\frac{1}{2}\right)^x määramis­piirkonna X, muutumis­piirkonna Y, positiivsus­piirkonna X+, negatiivsus­piirkonna X– ning kasvamis­piirkonna X↑ ja kahanemis­piirkonna X↓.

Mõlema funktsiooni korral on X = R, Y = R+, X+ = R ja X– = ∅. Funktsioon y = 2x on kasvav, s.t X↑ = R ja X↓ = ∅. Funktsioon y=\left(\frac{1}{2}\right)^x on aga kahanev, s.t X↓ = R ja X↑ = ∅.

Kui mingi suurus y kasvab või kahaneb seose y = ax järgi, siis öeldakse, et selle suuruse kasvamine (a > 1) või kahanemine (0 < a < 1) on eksponentsiaalne. Seega on ka suuruste liit­protsendiline kasvamine ja kahanemine vastavalt eksponentsiaalne kasvamine ja eksponentsiaalne kahanemine.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Konstrueerige ühes ja samas koordinaat­teljestikus funktsioonide y=\left(\frac{3}{4}\right)^x, y=\left(\frac{1}{5}\right)^x ja y=\left(\frac{1}{10}\right)^x graafikud. Kuidas mõjutab a muutumine (a < 1) graafiku asendit teljestikus?

Milline on nende funktsioonide määramis­piirkond, positiivsus­piirkond, negatiivsus­piirkond, kasvamis­vahemik, kahanemis­vahemik, ekstreemum­kohad?

y=\left(\frac{3}{4}\right)^x

y=\left(\frac{1}{5}\right)^x

y=\left(\frac{1}{10}\right)^x

X

X^+

X^-

X\uparrow

X\downarrow

X_e

Konstrueerige ühes ja samas koordinaat­teljestikus funktsioonide y=\left(\frac{1}{3}\right)^x ja y=3^x graafikud. Kuidas paiknevad need graafikud teine­teise suhtes?

Milline raha­summa pandi panka?

Milline oli panga intress protsentides?

Kui suur summa oli pangas 10 aasta pärast?

y = 800 · 1,03x

 €

%

y = 1200 · 1,02x

 €

%

y = 1,1x

 €

%

y = 10 500 · 1,006x

 €

%

Joon. 2.44

Vastus. Kui silindril on 0,5 keerdu, siis tasa­kaalustada saab jõudu  N; kui silindril on 1 keerd, siis  N; kui silindril on 1,25 keerdu, siis  N; kui silindril on 2 keerdu, siis  N; kui silindril on 3 keerdu, siis  N.

Joon. 2.44

Vastus. Kui silindril on 1 keerd, siis tasa­kaalustamiseks läheb vaja jõudu  N; kui silindril on 1,5 keerdu, siis  N; kui silindril on 2 keerdu, siis  N; kui silindril on 3 keerdu, siis  N; kui silindril on 4 keerdu, siis  N; kui silindril on 5 keerdu, siis  N.

Vastus. 2 tunni möödudes on  kg pärmi; 3,5 tunni möödudes  kg; 6 tunni möödudes  kg; 8 tunni möödudes  kg; 9 tunni möödudes  kg.

  • Konstrueerige pärmi kasvamist kirjeldava funktsiooni p = 90 · 1,2t graafik aja­vahemikus 0 kuni 9 tundi.
  1. 5 minuti pärast?
    Vastus. 5 minuti pärast on kohvi temperatuur °.
  2. 15 minuti pärast?
    Vastus. 15 minuti pärast on kohvi temperatuur °.

Mitme minuti pärast on kohvi temperatuur 15°?

Milline sirge on selle funktsiooni graafiku asümptoodiks?

Vastus. Sirge y = .

Vastus. Ellinor sai °-se kohvi.

Seotud sisu
Muud tegevused