Kordame trigonomeetriat

X klassis tutvusime kaare­radiaani ja radiaani mõistega:

kaare­radiaaniks nimetatakse raadiuse pikkust ring­joone kaart;

​radiaaniks nimetatakse kesk­nurka, mis toetub kaare­radiaanile.

Rõhutame see­juures, et kaare pikkust (samuti nurga suurust) radiaanides väljendav (reaal)arv on nimeta arv, sest kaare­radiaanide arv saadakse ju kaare pikkuse ja vastava raadiuse pikkuse jagatisena.

*Kanname ring­joonele alates punktist A positiivses suunas järjest kaare­radiaane kui ring­joone kaare mõõt­ühikuid (joonis 3.18). Tulemusena saame ring­joone punktid B, C, D, F, G, H, mis vastavad arvudele 1, 2, 3, 4, 5, 6, sest kaared AB, AC, AD, AF, AG, AH on vastavalt 1, 2, 3, 4, 5, 6 kaare­radiaani. Et igale kaarele vastab oma­korda teatav kesk­nurk, siis võime öelda, et kaarel olevatele arvudele 1, 2, 3, 4, 5, 6 vastavad nurgad ∠ AOB = 1 rad, ∠ AOC = 2 rad, …, ∠ AOH = 6 rad. Analoogiliselt vastab arvule 0,72 (punkt I) nurk 0,72 rad ja arvule π (sirg)nurk π rad.

Joon. 3.18

Kui jätkata punktist H kaare­radiaani kandmist ring­joonele, saame sellel punktid, mis vastavad järgmistele täis­arvudele 7 (punkt I, 7 ≈ 2π + 0,72), 8, … . Endised punktid A, B, C, … vastavad nüüd arvudele 2π , 2π +1, 2π + 2, … . Kui kaare­radiaani märkimisega ring­joonele jõutakse ring­joone kahe­kordse pikkuseni, tähendavad edasi punktid A, B, C, … arve 4π , 4π +1, 4π + 2,… ning neile vastavad kesk­nurgad 4π rad, 4π +1 rad, 4π + 2 rad, … jne. Seega vastab igale mitte­negatiivsele arvule (ring­joonel) teatud kesk­nurk radiaanides.

Analoogilise tulemuse saaksime negatiivsete arvude korral: igale negatiivsele arvule vastab teatav negatiivses suunas mõõdetud kesk­nurk radiaanides. Selleks peaksime kandma ring­joonele kaare­radiaane alates punktist A negatiivses suunas.

Kokku­võtteks: igale reaal­arvule x vastab kesk­nurk x radiaani.

Nurga siinuse ja koosinuse definitsiooni kohaselt seatakse igale reaal­arvule x, tangensi definitsiooni kohaselt aga igale reaal­arvule x\ne\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, kui n ∈ Z (õppisime 10. klassis) vastavusse vaid üks siinuse, koosinuse ja tangensi väärtus, s.t sin x, cos x ja tan x. See asja­olu võimaldabki defineerida trigonomeetrilisi funktsioone y = sin x, y = cos x, y = tan x, mida vaatleme täpsemalt järgnevates pea­tükkides.

Kordame veel kord skemaatiliselt kirjeldatud vastavuste ahelat:

reaal­arv → kaare­radiaanide arv ring­joone kaares → kesk­nurk radiaanides → siinuse, koosinuse ja tangensi väärtus.

Näide 1.

Arvule 4 vastab 4 kaare­radiaani, sellele kesk­nurk 4 rad ja viimasele nurga siinuse, koosinuse ja tangensi väärtus: sin 4 ≈ –0,757, cos 4 ≈ –0,654, tan 4 ≈ 1,158.*

Tuletame meelde, et trigonomeetriliste funktsioonide korral kehtivad järgmised seosed:

sin(x + 2nπ) = sin x

cos(x + 2nπ) = cos x

tan(x + 2nπ) = tan x

ja

sin(–x) = –sin x

cos(–x) = cos x

tan(–x) = –tan x

Taandamis­valemite välja­kirjutamiseks või rakendamiseks piisab järgmise reegli teadmisest:

nurkade π – x, π + x ja 2π – x korral teiseneb nende siinus avaldiseks sin x, koosinus avaldiseks cos x ja tangens avaldiseks tan x, mille ees olev märk (+ või –) sõltub sellest, milline on vastavalt siinuse, koosinuse või tangensi märk veerandis, kuhu kuulub esi­algne nurk π – x, π + x, 2π – x. Märgi määramisel loetakse nurk x alati terav­nurgaks.

Näide 2.

sin(π + x) = –sin x, sest kolmandas veerandis (nurk π + x ) on siinus negatiivne; tan(2π – x) = –tan x, sest neljandas veerandis (nurk 2π – x) on tangens negatiivne; cos(2π – x) = cos x, sest neljandas veerandis on koosinus positiivne.

Näide 3.

Lihtsustame avaldise

\frac{\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\tan\frac{9\pi}{4}}{\sin\frac{4\pi}{3}\cos\frac{7\pi}{4}}.

Kasutame antud avaldise teisendamiseks taandamis­valemeid:

\frac{-\tan\frac{\pi}{3}\tan\left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-\sqrt{3}\tan\frac{\pi}{4}}{-\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}\cdot1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 685. Siinuse, koosinuse ja tangensi väärtuse leidmine

Nurk

sin α

cos α

tan α

1,58

2,3

2,65

0,25

Nurk

sin α

cos α

tan α

\frac{\pi}{6}

0

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{4}

Nurk

sin α

cos α

tan α

\frac{\pi}{5}

\frac{3\pi}{8}

\frac{2\pi}{7}

\frac{3\pi}{11}

Ülesanne 686. Avaldise täpse väärtuse leidmine

\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6} =  = 

2\tan\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =  = 

4\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{6} =  = 

\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{3\pi}{2} =  = 

\tan\frac{\pi}{4}:\left(\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}\right) =  = 

\tan\pi\tan\frac{\pi}{2} =  = 

\cos2\pi+4\sin\frac{3\pi}{2}\sin\pi =  = 

\sin\frac{\pi}{4}+\cos\pi =  = 

\tan^2\frac{\pi}{6}+\cos0\sin^2\frac{\pi}{3} =  = 

\sin2\pi+\tan0 =  = 

Ülesanne 687. Lihtsustamine

\sin\left(2\pi-\mathrm{\alpha}\right) = 

\cos\left(2\pi-x\right)+\sin\left(\pi-x\right) = 

\tan\left(\pi+2\mathrm{\alpha}\right) = 

\tan\left(-x\right)-\tan\left(\pi-x\right) = 

\cos\left(16\pi+3\mathrm{\alpha}\right) = 

\sin\left(\pi+5x\right)\sin\left(5x+8\pi\right)+1 = 

\cos\left(\pi-\mathrm{\alpha}\right) = 

\cos\left(\pi-4\right)\cos\left(\pi+4\right)+\sin^2\left(\pi+4\right) = 

Ülesanne 688. Avaldise täpse väärtuse leidmine

\sin\frac{7\pi}{3}\tan\frac{5\pi}{6}\cos\pi = 

\cos\frac{5\pi}{4}-\sin\frac{3\pi}{4} = 

\tan\frac{11\pi}{6}\tan\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6} = 

\tan\frac{33\pi}{4}+\tan^2\frac{5\pi}{3} = 

\frac{\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\tan\frac{25\pi}{4}}{\cos\frac{5\pi}{4}\sin\frac{25\pi}{4}} = 

\frac{\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{9\pi}{4}}{\cos\frac{2\pi}{3}+\sin\frac{7\pi}{6}} = 

Seotud sisu
Muud tegevused