Funktsiooni graafiku kumerus ja nõgusus. Graafiku käänu­punktid

Teise tuletise abil saame veel lisa­teavet funktsiooni graafiku kohta. Jooniselt 5.23 näeme, et kõigi seal esitatud graafikute punktid asuvad graafikule joonestatud puutujatest allpool.

Joon. 5.23

Graafikuid, mille kõik punktid asuvad graafikule joonestatud puutujatest all­pool, nimetatakse kumerateks.

Graafikuid, mille kõik punktid asuvad graafiku puutujatest ülal­pool, nimetatakse nõgusateks (joonis 5.24).

Joon. 5.24
Joon. 5.25

Joonisel 5.25 on esitatud nii­suguse funktsiooni graafik, mis mõnes x-telje vahemikus on kumer ja mõnes nõgus. Selliseid vahemikke nimetatakse vastavalt funktsiooni graafiku kumerus- ja nõgusus­vahemikeks ning tähistatakse sümbolitega X⏜ ja X⏝.

Teeme nüüd tuletise mõiste abil kindlaks tingimused, mis võimaldavad leida graafiku kumerus- ja nõgusus­vahemikke. Eeldame see­juures, et vaadeldav funktsioon on vaadeldava vahemiku igas punktis kaks korda diferentseeruv. Joonisel 5.26 esitatud graafik on kumer. Et

\mathrm{\alpha}_1>\mathrm{\alpha}_2>\mathrm{\alpha}_3=0, siis \tan\mathrm{\alpha}_1>\tan\mathrm{\alpha}_2>\tan\mathrm{\alpha}_3=0.

Joon. 5.26

Kuna funktsiooni tuletis kohal x on võrdne sellel kohal funktsiooni graafikule joonestatud puutuja tõusu­nurga tangensiga, siis näeme siit, et funktsiooni y = f (x) tuletis­funktsiooni g (x) väärtused argumendi kasvades kahanevad. Seega on funktsiooni y = f (x) tuletis­funktsioon g (x) = f '(x) vahemikus (–∞; x3) kahanev. Et funktsioon g (x) on kahanev, siis on tema tuletis g '(x) =[f '(x)]' = y'' selles vahemikus negatiivne või null, s.t y'' ≤ 0. Samalt jooniselt näeme, et tõusu­nurgad vähenevad ka vahemikus (x3 ; ∞):

\mathrm{\alpha}_4>\mathrm{\alpha}_5>\mathrm{\alpha}_6.

Et vaadeldavad nurgad on teise veerandi nurgad ja tangens­funktsioon on oma määramis­piirkonna igas vahemikus kasvav, siis

0=\tan\mathrm{\alpha}_3>\tan\mathrm{\alpha}_4>\tan\mathrm{\alpha}_5>\tan\mathrm{\alpha}_6.

Seega, ka vahemikus (x3; ∞) on funktsiooni y = f (x) tuletis­funktsioon g (x) kahanev, s.t g '(x) ≤ 0 ehk y'' ≤ 0.

Sarnaselt saame, et funktsiooni nõgusus­vahemikus on y'' ≥ 0.

Joon. 5.27

Ka funktsiooni teise tuletise null­koht võib kuuluda graafiku kumerus- ja nõgusus­vahemikku (joonis 5.27). Seda sel juhul, kui graafiku kumerus ei asendu sellel kohal nõgususega või vastu­pidi.

Võtame eelneva kokku.

Kui x kuulub funktsiooni y = f (x) graafiku kumerus­vahemikku, siis f ''(x) ≤ 0.

Kui x kuulub funktsiooni y = f (x) graafiku nõgusus­vahemikku, siis f ''(x) ≥ 0.

Vastavad pöörd­laused kehtivad vaid range võrratuse korral. Kui oletada, et nad kehtivad ka mitte­range võrratuse korral, siis peaks näiteks funktsiooni y = x3 graafiku punkt (0; 0) kuuluma nii graafiku kumerus- kui ka nõgusus­vahemikku. On ju f ''(0) = 0. Tegelikult aga, nagu näeme, toimub sellel kohal üleminek graafiku kumerus­vahemikust nõgusus­vahemikku (joonis 5.28).

Joon. 5.28

Niisiis, funktsiooni kumerus­vahemike leidmiseks tuleb lahendada võrratus f ''(x) < 0, nõgusus­vahemike leidmiseks aga võrratus f ''(x) > 0.
​Lisaks kuuluvad graafiku kumerus- või nõgusus­vahemikku veel funktsiooni teise tuletise need null­kohad, kus teine tuletis ei muuda märki.

Kohad, kus aga selline märgi­muutus toimub, s.t kus graafiku kumerus asendub nõgususega või vastu­pidi, kannavad nimetust graafiku käänu­punktid.

Graafiku selliseid punkte, kus on olemas puutuja ja kus graafiku kumerus asendub nõgususega või vastu­pidi, nimetatakse käänu­punktideks.
​Nende punktide abstsisse nimetatakse funktsiooni graafiku käänu­kohtadeks.

Käänu­kohtade hulka tähistame sümboliga Xk.

Näiteks joonisel 5.29 on kohal x1 käänu­punkt, kuna sellel kohal on funktsiooni graafikul puutuja ja graafiku kumerus läheb seal üle nõgususeks. Kohal x2 toimub samuti teise tuletise märgi­muutus: nõgusus asendub seal kumerusega. Kuna aga sellel kohal puudub funktsiooni graafikul puutuja, siis pole seal ka graafiku käänu­punkti.

Joon. 5.29

Leiame nüüd graafiku käänu­koha olemas­olu piisava tingimuse. Olgu funktsioon y = f (x) kohta x0 sisaldavas vahemikus kaks korda diferentseeruv. Kui funktsiooni teine tuletis muudab kohal x0 märki, tähendabki see seda, et sellel kohal funktsiooni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastu­pidi. Lisaks sellele, eeldusel, et funktsioon on kaks korda diferentseeruv vaadeldavas vahemikus, on tal seal ka esimene tuletis. Järelikult on funktsiooni y = f (x) graafikul kohal x0 ka puutuja. Seega on funktsiooni graafikul kohal x0 käänu­punkt. Teiselt poolt, teise tuletise märgi­muutus kohal x0 tähendab seda, et esimese tuletise kasvamine läheb kohal x0 üle kahanemiseks või vastu­pidi. Seega on kohal x0 funktsiooni esimesel tuletisel kui funktsioonil kas maksimum või miinimum. Järelikult peab sellel kohal funktsiooni tuletise tuletis ehk teine tuletis võrduma nulliga, seega f ''(x) = 0. Niisiis,

kui f ''(x0) = 0 ja funktsiooni teine tuletis muudab kohal x0 märki, siis on funktsiooni graafikul kohal x0 käänu­punkt.

Märkus. Leidub ka selliseid käänu­kohti, kus funktsiooni teine tuletis ei ole null. Näiteks funktsiooni y=\sqrt[3]{x} graafikul on kohal x0 = 0 käänu­punkt, kuid sellel kohal pole antud funktsioonil ei esimest ega ka teist tuletist (joonis 5.30). Selliste funktsioonide detailsem käsitlus ei kuulu kooli­programmi.

Joon. 5.30

Näide.

Leiame funktsiooni y=x^4-8x^3+18x^2-5 käänu­kohad ning kumerus- ja nõgusus­vahemikud.

Avaldame selleks esmalt funktsiooni esimese ja teise tuletise:

y'=4x^3-24x^2+36x ja y''=12x^2-48x+36.

Edasi leiame teise tuletise null­kohad. Võrrandist

12x^2-48x+36=0

saame, et vaadeldava funktsiooni graafikul võivad käänu­punktid olla kohtadel x_1=3 ja x_2=1.

Kumerus- ja nõgusus­vahemikud leiame vastavalt võrratustest

12x^2-48x+36<0 ja 12x^2-48x+36>0.

Saame, et antud funktsioonil on üks kumerus­vahemik X⏜=1; 3 ja kaks nõgusus­vahemikku X⏝1=-∞; 1 ja X⏝2=3; ∞.

Et teise tuletise null­kohtadel teine tuletis muudab märki, siis on seal käänu­kohad: X_k=\left\{1;\ 3\right\}.

Vastus. Funktsiooni y=x^4-8x^3+18x^2-5 graafikul on kaks käänu­kohta x_1=3 ja x_2=1, üks kumerus­vahemik X⏜=1; 3 ja kaks nõgusus­vahemikku X⏝1=-∞; 1 ja X⏝2=3; ∞.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 1007. Funktsiooni graafiku kumerus- ja nõgusus­vahemikud

y=x^2+7x

Vastus. X⏜ = ; X⏝  = 

y=2^x

Vastus. X⏜ = ; X⏝ = 

y=\log x

Vastus. X⏜ = ; X⏝ = 

y=\cos x

Vastus. X⏜n = ; X⏝n = 

Ülesanne 1008. Funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe sõltuvus parameetrist

y=ax^2+bx+c, kui a>0, kui a<0

Vastus. Kui a>0, siis X⏜ =  ja X⏝ = , kui a<0, siis X⏜ =  ja X⏝ = .

y=\frac{a}{x}, kui a>0, kui a<0

Vastus. Kui a>0, siis X⏜ =  ja X⏝ = , kui a<0, siis X⏝ =  ja X⏜ = .

y=a^x, kui a>0

Vastus. Kui a>0, siis X⏝ =  ja X⏜ = .

y=a\cdot e^x, kui a>0, kui a<0

Vastus. Kui a>0, siis X⏝ =  ja X⏜ = , kui a<0, siis X⏝ =  ja X⏜ = .

y=a\ln x, kui a>0, kui a<0

Vastus. Kui a>0, siis X⏜ =  ja X⏝ = , kui a<0, siis X⏜ =  ja X⏝ = .

y=a\sin x, kui a>0, kui a<0

Vastus. Kui a>0, siis X⏜n =  ja X⏝n = , kui a<0, siis X⏜n =  ja X⏝n = .

Ülesanne 1009. Funktsiooni graafiku käänu­kohad ning kumerus- ja nõgusus­vahemikud

y=x^4-24x^2+12

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝1 = , X⏝2 = 

y=x^4+4x^3-12

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝1 = , X⏝2 = 

y=-x^4+3x^3-3x^2+6

Vastus. Xk = , X⏜1 = , X⏜2 = , X⏝ = 

y=x^4-5x^3+6x^2-6

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝1 = , X⏝2 = 

y=x^4+4x^3+6x^2+4x+1

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=-x^4+8x^3-24x^2+32x-16

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=-x^4-12x^2+24

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=x^4+4x^2+1

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=x^3-3x^2+3x-1

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=8-12x+6x^2-x^3

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=x^3-6\ln x

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=48\ln x+x^4

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=x^2+2\sin x

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

y=-x+\cos x

Vastus. Xk = , X⏜ = , X⏝ = 

Ülesanne 1010. Funktsiooni ekstreemum­kohad, kasvamis- ja kahanemis­vahemikud, graafiku käänu­kohad ning kumerus- ja nõgusus­vahemikud

y=x^3-27x

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=2x^3-24x

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=2x^3-3x^2-12x+6

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^3+3x^2-24x+24

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^4-4x^3+6x^2-4x+1

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

y=x^3+6x^2+12x+8

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

Ülesanne 1011. Funktsiooni ekstreemum­kohad, kasvamis- ja kahanemis­vahemikud, graafiku käänu­kohad ning kumerus- ja nõgusus­vahemikud

y=3x^5-5x^3+2

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜1 = ; X⏜2 = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=3x^5-40x^3+80

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜1 = ; X⏜2 = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=3\cdot\sqrt[3]{x^5}-15\cdot\sqrt[3]{x^2}

Vastus. Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=2\cdot\sqrt[3]{x^4}-4\cdot\sqrt[3]{x}

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^{\frac{4}{3}}-6x^{\frac{1}{3}}

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^{\frac{1}{3}}\left(x+4\right)

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^2\ln x

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

y=2x\ln x

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

y=\left(x-1\right)e^x

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝ = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

y=e^{-x^2}

Vastus. Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; Xk = ; X⏜ = ; X⏝1 = ; X⏝2 = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

Ülesanne 1012. Punkti liikumine mööda sirget
  1. Kui kaugel lähte­kohast on punkt A esimese sekundi lõpul?
    Vastus. Punkt on siis lähte­kohast  cm kaugusel.
  2. Millisest hetkest alates hakkab vaadeldav punkt taas lähenema lähte­punktile? Kui suur on sellel hetkel punkti kiirus ja kaugus lähte­punktist?
    Vastus. Vaadeldav punkt hakkab lähenema lähte­punktile alates  sekundist, mil punkti kiirus on  \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} ja kaugus lähte­punktist on  cm.
  3. Millise minimaalse kauguse lähte­punktist ja mis hetkel saavutab punkt A aja­vahemikul (2; 7)?
    Vastus. Sel aja­vahemikul on minimaalne kaugus  cm  sekundil.
  4. Milline peaks olema valemis s (t) = 2t3 – 21t2 + 60t + a parameetri a väärtus, et punkt jõuaks uuesti lähte­punkti?
    Vastus. a = 
  5. Millistes aja­vahemikes punkt A kaugeneb lähte­punktist, millistes läheneb?
    Vastus. Punkt kaugeneb lähte­punktist, kui t ∈  ja t ∈  ning läheneb, kui t ∈ .
  6. Skitseerige graafik, mis kirjeldab punkti A ja lähte­punkti vahelise kauguse s (t) muutumist sõltuvalt ajast t.
  7. Millistel hetkedel on punkti liikumise kiirus 0\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}?
    Vastus. Kui t =  s ja t =  s.
  8. Millises aja­vahemikus punkti kiirus väheneb, millises suureneb?
    Vastus. Punkti kiirus väheneb, kui t ∈  ja suureneb, kui t ∈ .
  9. Millises aja­vahemikus on punkti kiirus negatiivne? Mida tähendab sisuliselt negatiivne kiirus?
    Vastus. Punkti kiirus on negatiivne, kui t ∈ . Negatiivne kiirus tähendab, et .
  10. Kui suure maksimaalse kiiruse saavutab punkt tagasi­liikumisel?
    Vastus. Tagasi­liikumisel on punkti maksimaalne kiirus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
  11. Skitseerige graafik, mis kirjeldab punkti A liikumise kiiruse v (t) sõltuvust ajast t.
  12. Millisel hetkel on punkti liikumise kiirendus 0\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s^2}}?
    Vastus. Kui t =  s.
  13. Millisel aja­vahemikul on punkti liikumise kiirendus negatiivne, millisel positiivne? Millal on punkti liikumine aeglustuv, millal kiirenev?
    Vastus. Punkti liikumise kiirendus on negatiivne, kui t ∈  ja positiivne, kui t ∈ . Liikumine on aeglustuv, kui t ∈  ja liikumine on kiirenev, kui t ∈ .
  14. Skitseerige graafik, mis kirjeldab punkti A liikumise kiirenduse a (t) sõltuvust ajast t. Võrrelge saadud kolme graafikut. Mida huvitavat selgub?
  15. Püüdke lahendada antud ülesanne ka arvutil, uurides vastavaid liikumist kirjeldavaid graafikuid. Milles seisnevad erinevate lahendus­meetodite eelised ja puudused?
Seotud sisu
Muud tegevused