Konspekt. Vektor ja joon tasandil

Seotud sisu
Muud tegevused

Vektor tasandil

Vektor

Vektor \overrightarrow{AB} punktist A (xA; yA) punktini B (xB; yB) avaldub järgnevalt:

\overrightarrow{AB}=\left(X;\ Y\right)=\left(x_B-x_A;\ y_B-y_A\right)

Vektori pikkus ja korrutamine arvuga

Vektori \vec{a}=\left(X;\ Y\right)  pikkus on Pythagorase teoreemist tulenevalt

\left|\vec{a}\right|=\sqrt{X^2+Y^2}.

Vektori korrutamine reaalarvuga c ≠ 0 jätab vektori sihi samaks, muudab vektori pikkust \left|c\right| korda ning sõltuvalt konstandi märgist jätab vektori suuna samaks või pöörab selle vastupidiseks:

c\vec{a}=c\left(X;\ Y\right)=\left(cX;\ cY\right)

Vektorite liitmine ja lahutamine

Vektorite \vec{a}=\left(X_a;\ Y_a\right) ja \vec{b}=\left(X_b;\ Y_b\right) summa ning vahe avalduvad kui

\vec{a}\pm\vec{b}=\left(X_a\pm X_b;\ Y_a\pm Y_b\right).

Geomeetriliselt tuleb liitmiseks viia üks vektor teise lõpp-punkti ning ühendada esimese vektori alguspunkt teise lõpp-punktiga. Geomeetrilise lahutamise asemel võib liita antud vektori vastandvektori.

Skalaarkorrutis

Kahe vektori \vec{a}=\left(X_a;\ Y_a\right) ja \vec{b}=\left(X_b;\ Y_b\right) skalaarkorrutist saab avaldada kaht võrdväärset moodi. Esimene võimalus on korrutada omavahel vastavad koordinaadid ning seejärel korrutised liita. See meetod on mugav, kui on antud vektorite koordinaadid.

\vec{a}\cdot\vec{b}=X_aX_b+Y_aY_b

eine võimalus skalaarkorrutise arvutamiseks on läbi vektorite pikkuste ning vektorite vahelise nurga θ. Ühtlasi saab sellest definitsioonist lähtuvalt kergelt leida vektoritevahelisi nurki.

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cos\mathrm{\varphi}

Lõigu keskpunkt

Lõigu AB keskpunkti C koordinaadid on lõigu otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.

C\left(\frac{x_1+x_2}{2}:\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Seotud sisu
Muud tegevused

Sirge tasandil

Sirge võrrand

Sirge võrrandi saab kirjutada kujul y = kx + b, kus k on sirge tõus ja b algordinaat.

Ühtlasi saab selle võrrandi teisendada sirge üldvõrrandiks kujul Ax + By + C = 0.

Sirge võrrandit saab koostada kahe punkti või ühe punkti ja sihivektori (või tõusu) abil.

Sirge sihivektori leiab sirge võrranditest:

  • \vec{s}=\left(1;\ k\right)
  • \vec{s}=\left(1;\ -\frac{A}{B}\right)
  • \vec{s}=\left(-B;\ A\right)

Sirgete vastastikused asendid

Üldkujul esitatud sirged on ühtivad, kui

 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.

Sirged on paralleelsed, kui teine neist kahest võrdusest ei kehti.

Sirged lõikuvad, kui vähemalt esimene võrdus ei kehti. Sellest lähtub, et sirged on paralleelsed või ühtivad kui nende tõusud on samad ning lõikuvad kui tõusud on erinevad.

Ringjoone võrrand

Ringjoont, mille keskpunkt asub punktis O (a; b) ja mille raadius on r, saab kirjeldada võrrandiga:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Analoogselt sirgele, saab ka ringjoone võrrandi viia üldkujule:

Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Sirgete ristumise tunnus

Kaks sirget ristuvad, kui nende tõusude korrutis on miinus üks:

k1 ⋅ k2 = –1

Kaks sirget ristuvad, kui nende sihi- või normaalvektorite skalaarkorrutis on null:

\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=0

Seotud sisu
Muud tegevused