Konspekt. Vektor ruumis

Seotud sisu
Muud tegevused

Vektor ruumis

Punkti koordinaadid ruumis

Punkti asukoha kirjeldamiseks ruumis läheb tarvis kolme koordinaati. Kasutades kolme ristuvat telge, saab iga punkti asukoha määrata järgnevate koordinaatidega:

  • x-koordinaat x1 ehk abstsiss on kaugus nullpunktist mööda x-telge
  • y-koordinaat y1 ehk ordinaat on kaugus nullpunktist mööda y-telge
  • z-koordinaat z1 ehk aplikaat on kaugus nullpunktist mööda z-telge

Kolm telge jaotavad ruumi kaheksaks oktandiks.

Vektor ühest ruumipunktist teise

Punktist A (x1; y1; z1) punktini B (x2; y2; z2) mineva vektori \overrightarrow{AB} koordinaadid on: 

\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\right)

Kohavektor

Igale punktile ruumis saab vastavusse seada kohavektori, mis on vektor koordinaatide alguspunktist vastava punktini. Näiteks punkti A (x1; y1; z1) kohavektor on:

\overrightarrow{OA}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right)

Vektori pikkus

Vektori \overrightarrow{AB}=\left(X;\ Y;\ Z\right) pikkust \left|\overrightarrow{AB}\right| saab arvutada järgneva valemi abil:

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}

Selle abil saab leida ka kahe punkti vahelise kaugus ruumis. Alustuseks tuleb koostada punktidevaheline vektor ning seejärel selle pikkus leida.

Seotud sisu
Muud tegevused

Tehted vektoritega

Vektorite liitmine ja lahutamine

Vektorite \vec{a}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja \vec{b}=\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right) summa on:

\vec{a}+\vec{b}=\left(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2\right)

Samade vektorite vahe on:

\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)=\left(x_1-x_2;\ y_1-y_2;\ z_1-z_2\right)

Skalaarkorrutis ja vektorite vaheline nurk

Vektorite \vec{a}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja \vec{b}=\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right) skalaar­korrutist saab arvutada kahel viisil:

\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\mathrm{\theta}

Näeme, et nende valemite abil saab arvutada ka vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahelise nurga θ:

\cos\mathrm{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus

Vektorid \vec{a}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja \vec{b}=\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right) on kollineaarsed ehk samasihilised, kui leidub konstant k nii, et \vec{a}=k\vec{b}. See on võrdväärne tingimusega, et kollineaarsete vektorite vastavate komponentide suhted on võrdsed:

\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}

Alternatiivselt, kaks vektorit on kollineaarsed, kui nende vektorkorrutis on null.

Vektorite komplanaarsus

Kolm vektorit \vec{a}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right), \vec{b}=\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right) ja \vec{c}=\left(x_3;\ y_3;\ z_3\right) on komplanaarsed ehk asuvad ühel tasandil, kui nende komponentidest moodustatud kolmerealine determinant on võrdne nulliga:

x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = 0

Kui need kolm vektorit on komplanaarsed, siis saab neist üht väljendada läbi kahe teise. See tähendab, et leiduvad konstandid λ ja μ nii, et:

\vec{c}=\mathrm{\lambda}\vec{a}+\mathrm{\mu}\vec{b}

Alternatiivselt, kolm vektorit on komplanaarsed, kui nende segakorrutis on null.

Seotud sisu
Muud tegevused

Sirge ruumis

Sirge kanoonilised võrrandid

\lambda=\frac{x-a_x}{s_z}

\lambda=\frac{y-a_y}{s_y}

\lambda=\frac{z-a_z}{s_z}

  • (x; y; z)
    sirgel asuva punkti koordi­naadid
  • (ax; ay; az)
    ​sirgel asuva punkti A kohavektori koordinaadid
  • (sx; sy; sz)
  • sirge sihivektori  s →  koordinaadid
  • λ sirge vektor­kujus esinev parameeter

Kanoonilistesse võrranditesse on ära peidetud sirgel asuva punkti A (ax; ay; az) ning sirge sihivektor \vec{s}=\left(s_x;\ s_y;\ s_z\right). Juhul kui sihivektori ja ühe punkti asemel on antud kaks punkti A (ax; ay; az) ja B (bx; by; bz), saab sirge sihivektori leida:

s → = b x - a x b y - a y b z - a z

Seotud sisu
Muud tegevused

Tasandi võrrand PILT UDUNE

Tasandi üldvõrrand

Ax + By + Cz + D = 0

  • (x; y; z)
    ​suvalise tasandil asuva punkti koordinaadid
  • (A; B; C)
    ​tasandi normaalvektori \vec{n} komponendid
  • D tasandi kõrgus nullpunktis

Kõik tasandil asuvad punktid koordinaatidega (x; y; z) rahuldavad tasandi üldvõrrandit. Üldvõrrandist saab välja lugeda tasandi normaalvektori komponendid \vec{n}=\left(A;\ B;\ C\right). 

Tasandit on võimalik üheselt määrata näiteks kolme punkti, ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektori, kahe lõikuva või paralleelse sirge, sirge ja väljaspool sirget asuva punkti või tasandiga ristuva vektori ja tasandil asuva punkti kaudu.

Koosta vektorid \vec{s},\ \vec{f},\ \overrightarrow{AB}.

Kas \vec{s}\ \mathrm{ja}\ \vec{g} on kollineaarsed?

JAH

EI

Kas ka \overrightarrow{AB} on \vec{s} ja \vec{g}-ga kollineaarne

Kas \overrightarrow{AB}, \vec{s} ja \vec{g} on kompla­naarsed

JAH

EI

JAH

EI

Ühtivad

Paral­leelsed

Lõikuvad

Kiivsirged

Seotud sisu
Muud tegevused

Sirge ja tasand

Sirge on tasandiga paralleelne või asetseb sellel

Sirge on tasandiga paralleelne, kui ta sihivektor \vec{s} on tasandi normaalvektoriga \vec{n} risti. See tähendab, et nende vektorite skalaarkorrutis on null:

\vec{s}\cdot\vec{n}=0

Sirge asub tasandil, kui lisaks paralleelsuse tingimusele asub ükskõik mis sirge punkt sellel tasandil.

Näiteks võib kanoonilisest võrrandist võtta punkti A (ax; ay; az), mida sirge kindlasti läbib. Selle punkti koordinaadid tuleb seejärel asetada tasandi võrrandisse, et kontrollida, kas see punkt asub tasandil.

Sirge lõikub tasandiga

Sirge lõikub tasandiga, kui ta pole tasandiga paralleelne. See tähendab, et sirge sihivektori \vec{s} ja tasandi normaalvektori \vec{n} skalaarkorrutis erineb nullist:

\vec{s}\cdot\vec{n}\ne0

Kui sirge ja tasand lõikuvad, siis saab lõikumisnurga θ leida skalaarkorrutise kaudu:

\sin\mathrm{\theta}=\frac{\left|\vec{s}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}{\left|\vec{s}\right|\left|\vec{n}\right|}

Pane tähele, et sel korral on valemis sin θ, mitte tavapärane cos θ. Selline erinevus tekib, kuna skalaarkorrutises esineb cos α, kus α on nurk tasandi normaalvektori ja sirge sihivektori vahel. Lõikumisel tekkiv tasandi ja sirge vaheline nurk on aga θ = 90° – α.

Seotud sisu
Muud tegevused