Harjutus­ülesanded. Tuletise rakendusi

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

On antud funktsioon y=\frac{2-x}{\sqrt{x}}.

  1. Leia selle funktsiooni tuletis kohal x0 = 4.
  2. Leia selle joone puutuja võrrand kohal x0 = 4.
    • Puutepunkt 
Vihje
1. Puutuja võrrandiks on sirge võrrand puutepunkti ja tõusu järgi.
2. Tõus on k = y′(x0).
  1. Kas funktsioon y=\frac{2-x}{\sqrt{x}} on kumer või nõgus?
Vihje
Leia funktsiooni teine tuletis.
Vastused
  3. X ⏜ =   
    X ⏝ =
    Funktsioon on
Lahendus
  1. Leia tuletis ja siis arvuta selle väärtus, kui x = 4.
    ​Jagatise tuletis:
    y'=\frac{\left(2-x\right)'\cdot\sqrt{x}-\left(2-x\right)\cdot\left(\sqrt{x}\right)'}{\left(\sqrt{x}\right)^2}=
    =\frac{-\sqrt{x}-\left(2-x\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=
    =\frac{\frac{-2x-2+x}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{-x-2}{2x\sqrt{x}}
    ​y'\left(4\right)=\frac{-4-2}{2\cdot4\cdot\sqrt{4}}=-\frac{3}{8}
    1. Puutuja võrrandiks on sirge võrrand punkti ja tõusu järgi y – y0 = k(x – x0).
      ​Tõus on k = y′(x0), selle leidsid juba eelmises punktis: k=-\frac{3}{8}=-0,375.
      ​Puutepunkti ordinaadi leiame algfunktsioonist y0 = y (x0).
      y_0=\frac{2-4}{\sqrt{4}}=-1
      ​Puutepunkt P (4; –1)
    2. P​uutuja võrrand:
      y + 1 = ​–0,375(x – 4)
      y = ​–0,375x + 0,5
    1. Funktsioon on kohal x0 kumer, kui teine tuletis f’′′(x0) on negatiivne ja nõgus, kui teine tuletis f’′′(x0) on positiivne. Seega tuleb leida funktsiooni teine tuletis.
      f''\left(x\right)=
      =\frac{\left(-x-2\right)'\cdot2x\sqrt{x}-\left(-x-2\right)\left(2x\sqrt{x}\right)'}{4x^3}=
      =\frac{-2x\sqrt{x}+\left(x+2\right)\cdot3\sqrt{x}}{4x^3}=
      ​​=\frac{-2x\sqrt{x}+3x\sqrt{x}+6\sqrt{x}}{4x^3}=
      ​​​=\frac{x\sqrt{x}+6\sqrt{x}}{4x^3}
      Kuna määramis­piirkonnas on ainult positiivsed reaal­arvud, siis on teine tuletis kogu määramis­piirkonnas positiivne. 
    2. Kumeruspiirkond on  X ⏜ = ∅ , nõgususpiirkond   X ⏝ = 0 ; ∞  ja seega on funktsioon nõgus.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Lily rajab aeda lille­peenart, mis oleks kujult ristkülik, mille ühele küljele on konstrueeritud võrdkülgne kolmnurk (vaata joonist).

Lillepeenra plaan

Lilyl on peenra ääristamiseks 18 meetrit materjali. Millised peavad olema peenra mõõtmed meetrites, et rajatav peenar oleks võimalikult suure pindalaga? Arvuta esmalt külg x. Ümarda vastused kümnendikeni.

Vihje
1. Koosta peenra ümbermõõdu võrrand ja avalda sellest külg y.
2. Koosta avaldis peenra pindala arvutamiseks.
3. Leia pindalafunktsiooni tuletis ja tuletise nullkohad.
4. Kontrolli teise tuletise abil, kas tegemist on maksimumkohaga. 
  •  (ristkülik + kolmnurk)
Vastus

Peenra mõõtmed peavad olema
x ≈  m ja y ≈  m, et peenra pindala oleks maksimaalne.

Lahendus
  1. Peenra ümbermõõt peab olema 3x + 2y = 18 meetrit. Avaldame sellest ühe külje.
    y = 9 –​ 1,5x
    Koostame avaldise peenra pindala arvutamiseks. Ristküliku pindala S1 = xy ja võrdkülgse kolmnurga pindala​ S_2=\frac{\sqrt{3}x^2}{4}.
    S=xy+\frac{\sqrt{3}x^2}{4}=
    =x\left(9-1,5x\right)+0,25\sqrt{3}x^2=​
    ​=9x-1,5x^2+0,25\sqrt{3}x^2
  2. Vaja on maksimaalset pindala, st leiame funktsiooni tuletise ning selle nullkohtades võivadki olla ekstreemumid.
    ​S'\left(x\right)=9-3x+0,5\sqrt{3}x
  3. Leia tuletise nullkohad lahendades võrrandi
    9-3x+0,5\sqrt{3}x=0.
    ​x=\frac{9}{3-0,5\sqrt{3}}\approx4,2 (m)
  4. Kontrolli, kas see on maksimumkoht.​​​
    S''\left(x\right)=-3+0,5\sqrt{3}<0,
    funktsioon on kõikjal kumer, järelikult on leitud nullkoht maksimumkoht.​​
  5. Leiame ristküliku teise külje.
    y = 9 – 1,5 · 4,2 = 2,7​ (m)
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

Firma kulutab n toote valmistamiseks K(n) = n3 – 6n2 + 10 eurot. Ühe toote müügihind on 63 eurot.

  1. Kui suur on kümne toote valmistamise tulu, kulu ja kasum?
  2. Koosta kasumi­funktsioon P(n) ja leia, mitme toote valmistamisel on kasum maksimaalne ja maksimaalse kasumi suurus.
Vihje
1. Tulu T on müügist saadav raha. 
2. Kulu arvuta kulufunktsiooni K(10) järgi.
3. Kasum P on tulu, millest on maha arvatud kõik kulud.
4. Koosta kasumifunktsioon tulu- ja kulu­funktaiooni vahena.
5. Maksimumi leidmiseks võta tuletis ja uuri tuletise nullkohti.
Vastused
  1. Tulu T =  eurot
    Kulu K =  eurot
    Kasum P =  eurot

  2. nmax = 
    Pmax =  eurot
Lahendus
    1. Tulu T on müügist saadav raha. Kümne toote müügist saadav tulu on T = 10 ⋅ 63 = 630 (eurot).
    2. Kulu arvutame kulufunktsiooni järgi.
      K(10) = 103 – 6 ⋅ 102 + 10 = 410 (eurot)
    3. Kasum P on tulu, millest on maha arvatud kõik kulud:
      P = T – K
      P = 630 ​​– 410 = 220 eurot.
    1. Kuna kasum on tulu ja kulu vahe, siis
      ​P(n) = 63n – (n3 – 6n2 + 10) =
      =​ –n3 + 6n2 + 63n – 10
    2. Funktsiooni maksimumi leidmiseks võtame tuletise ja uurime selle nullkohti.
      P′(n) = –3n2 + 12n + 63
      Nullkohad: n1 = –3, n2 = 7
    3. Antud ülesande puhul jätame negatiivse lahendi tähele panemata ja uurime, kas 7 on maksimumkoht.​​​Leiame teise tuletise ja vaatame, milline on selle väärtus, kui n = 7.
      P′′(n) = –6n + 12
      P′′(7) = –6 ⋅ 7 + 12 = –30 < 0
      Kuna P′′(7) < 0, siis on tegemist maksimumkohaga.​​​
    4. Maksimaalne kasum
      ​Pmax =
      =​ −73 + 6 ⋅ 72 + 63 ⋅ 7 − 10 = 382 (eurot).
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 4

Leia funktsiooni f (x) = –x4 + 8x2 – 2 suurim ja vähim väärtus lõigul [–1; 4].

  • Nullkohad (kasvavas järjestuses)


  • Funktsiooni väärtused (x kasvavas järjestuses)



Vihje
Suurima ja vähima väärtuse leidmiseks kindlas piirkonnas uuri funktsiooni väärtuseid ekstreemum­kohtades ja antud lõigu otspunktides. Ekstreemumkohtade leidmiseks võta tuletis ja uuri selle nullkohti.
Vali vahemikku sobivad nullkohad ja lõigu otspunktid ning arvuta nendele vastavad funktsiooni väärtused.
Vastused

Suurim väärtus on .
Vähim väärtus on .  

Lahendus
  1. Suurima ja vähima väärtuse leidmiseks kindlas piirkonnas uurime funktsiooni väärtuseid ekstreemum­kohtades ja antud lõigu otspunktides.
    ​Ekstreemumkohtade leidmiseks võtame tuletise ja uurime selle nullkohti.
  2. f ′(x) = –4x3 + 16x
    –4x3 + 16x = 0 |: (–4)
    x3 – 4x = 0
    x (x2 – 4) = 0
    x1 = 0
    x2 = –2
    x3 = 2​
  3. ​​​​​​Nullkoht x2 = –2 ei kuulu vaadeldavasse piirkonda.
  4. Teise tuletise abil uurime, kas tegemist on miinimum- või maksimum­kohaga. 
    f′′(x) = –12x2 + 16
    f′′(0) = 16 > 0 ⇒​ min
    ​f′′(2) = –32 < 0 ⇒​ max
    ​​x1 = 0 on funktsiooni miinimumkoht ja x3 = 2 on maksimumkoht.
  5. Arvutame nendele vastavad funktsiooni väärtused ja väärtused lõigu otspunktides –1 ja 4. Võrdleme tulemusi.
    f (–1) = 5
    ​f (0) = –2
    ​f (2) = 14
    f (4) = –130
  6. Funktsiooni minimaalne väärtus lõigul [–1; 4] on –130 ja suurim 14.​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 5

Keha liikumist kirjeldab funktsioon s\left(t\right)=-\frac{5t^3}{3}+\frac{15t^2}{2}+15.

  1. Milline on keha kiirus ajahetkel t = 2?
  2. Millisel hetkel on kiirendus a = –5?
  3. Millisel ajahetkel on kiirus maksimaalne? Leia maksimaalne kiirus.
Vihje
1. Hetkkiirus on teepikkuse tuletis.
2. Kiirendus on teine tuletis. Koosta ja lahenda lineaarvõrrand.
3. Maksimaalne kiirus on kiiruse funktsiooni ekstreemum. Maksimumkoht võib olla tema tuletise ehk kiirendus­funktsiooni nullkohas.
Vastused
  1. Kiirus sel hetkel on .
  2. Selline kiirendus on hetkel t = .
  3. Kiirus on maksimaalne ajahetkel t = . 
    Maksimaalne kiirus vmax = .
Lahendus
  1. Hetkkiirus on teepikkuse tuletis:
    ​v(t) = s′(t) = –5t2 + 15t
    Arvuta v(2), mis ongi kiirus hetkel ​t = 2.​
    Kiirus sel hetkel on 10.
  2. Kiirendus on teine tuletis: a(t) = v′(t) = s′′(t) = –10t + 15
    Kui a = –5, siis saame võrrandi
    ​–10t + 15 = –5.
    ​Võrrandi lahend ongi otsitud ajahetk t = 2.
    1. Maksimaalne kiirus on kiiruse funktsiooni ekstreemum. Maksimum­koht võib olla tema tuletise ehk kiirendus­funktsiooni nullkohas.
      –10t + 15 = 0
      t = 1,5
    2. Kontrollimisel selgub, et see on maksimumkoht, sest kiirenduse tuletis a′(t) = –10 on kõikjal negatiivne.​​
    3. vmax(1,5) =
      =​ –5 ⋅ 1,52 + 15 ⋅ 1,5 = 11,25
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesandeid

Joonisel olev kujund koosneb ristkülikust ja ruudust. Ruudu külg moodustab \frac{2}{3} ristküliku pikemast küljest. Arvutage selle kujundi suurim võimalik pindala, kui kujundi ümbermõõt on 88 cm.

Vastus

Selle kujundi suurim võimalik pindala on  cm2.

Uus postipakkide saatmise süsteem seab saadetava paki mõõtmetele järgmised tingimused:

  1. pakk peab olema risttahukakujuline;
  2. paki pikkus ja laius peavad suhtuma nagu 2 : 1;
  3. paki pikkuse, laiuse ja kõrguse summa peab olema 60 cm.

Kui suur peaks olema sellise postipaki kõrgus, et paki ruumala oleks maksimaalne?

Vastus

Et paki ruumala oleks maksimaalne, peaks sellise postipaki kõrgus olema  sentimeetrit.

Ristkülikukujulise ristlõikega tala kandejõud on võrdeline ristlõike aluse ja kõrguse ruudu korrutisega. Kui suured peavad olema 40 cm läbimõõduga palgist lõigatud tala ristlõike alus a ja kõrgus h, et tala kandejõud oleks suurim?

Vastus

≈  cm ja ≈  cm

Plekitahvlist tuleb välja lõigata täisnurkne kolmnurk, mille pindala ruut on maksimaalne. Leidke selle kolmnurga kaatetite pikkused kui c = 20 cm.

Vastus

Selle kolmnurga kaatetite pikkused on  cm.

Seotud sisu
Muud tegevused