Harjutus­ülesanded. Eksponent- ja logaritm­funktsioon

1. 1. Et leida f (4) ehk funktsiooni väärtus kohal x = 4, tuleb funktsiooni valemis asendada argument arvuga neli ja arvutada.
      f (4) = log₃ (2⁴ – 7) = = log₃ (16 – 7) = log₃ (9) = 2
   2. Võrrand on kujul
      log₃ (2^x – 7) = 
      ​= log₃ (2^{2x – 4} – 7)
      Lahenda saadud eksponentvõrrand.
      Vii kõik liikmed ühele võrrandi poolele 2^{2x – 4} – 2^x = 0 ja vabane astendajas olevast vahest:
      ​2^2x ⋅ 2^–4 – 2^x = 0
      Tee muutuja vahetus: 2^x = t
      \frac{t^2}{16}-t=0 ja lahenda ruutvõrrand.​​​​Ruutvõrrandi lahendid:
      t₁ = 0, t₂ = 16
      Asenda tagasi:
      2^x = 0 ⇒​​​ lahendid puuduvad
      2^x = 16 ​⇒ 2^x = 2⁴ ⇒ x = 4
2. 1. Leiame f (x₁) = f (log^0,510) =​
      =\log_3\left(2^{\log_{0,5}10}-7\right)​​​
      ​​=\log_3\left(2^{\log_20,1}-7\right)
      = log₃ (0,1 ​– 7) = log₃ (–6,9)
      ​f (x₁) ∈ ∅, sest negatiivset arvu ei saa logaritmida.
   2. Leiame f (x₂) = f (log₂8)
      =\log_3\left(2^{\log_210}-7\right)
      = log₃ (10​​ – 7) = log₃ (3) = 1

1. Leiame puutepunkti ordinaadi y_0=f\left(x_0\right)=e^{\frac{\ln4}{2}}=e^{\ln\sqrt{4}}=2
   ​Puutepunkti koordinaadid on P (ln 4; 2).
2. Leiame tuletise. Kuna tegemist on liitfunktsiooniga, siis on välimise funktsiooni f (x) = e^u tuletis vaja korrutada sisemise funktsiooni u=\frac{x}{2}  tuletisega.
   f'\left(x\right)=e^u\cdot\frac{1}{2}=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}​​
3. Puutuja tõus on funktsiooni tuletis kohal x₀:
   ​k=f'\left(\ln4\right)=\frac{e^{\frac{\ln4}{2}}}{2}=\frac{e^{\ln2}}{2}=\frac{2}{2}=1
4. Sirge võrrand tõusu ja punkti järgi:
   y ​– 2 = 1 (x – ln 4)
   y = x + 2 – ln 4
   Või ligikaudse vabaliikmega
   ​y = x + 2 – 1,4
   ​y = x + 0,6​​

1. Leiame funktsiooni tuletise: f'(x)=​[\ln(x)]'=\frac{1}{x}. 
   Et sirge y = ex + p on graafiku puutuja, siis tõus k = e ja tõus on ka tuletis kohal x₀. Sel juhul saame võrrandist puutepunkti abstsissi​
   e=\frac{1}{x_0}\Rightarrow\ x_0=\frac{1}{e}.
2. Puutepunkti ordinaadi saame algfunktsioonist:
   y_0=\ln x=\ln\left(\frac{1}{e}\right)=-1.
   
3. Kuna puutepunktis on puutuja ja funktsiooni f (x) väärtused võrdsed, siis ln x = ex + p.
   Asetame saadud võrdusesse puutepunkti ja tõusu:
   -1=e\cdot\frac{1}{e}+p
   ​​​​​​​p = –1 – 1 = – 2

1. Määramispiirkonda ei saa kuuluda argumendi väärtused, mille korral log_0,2 (x + 2) = 0 (sest nulliga ei saa jagada) ja x + 2 < 0, sest logaritmitav peab olema positiivne.
   Murru lugejas kitsendusi pole.​
2. Lahendame võrrandi, et saada teada, milline arv ei kuulu kindlasti määramispiirkonda.
   log_0,2 (x + 2) = 0
   x + 2 = 0,2⁰
   x + 2 = 1
   x = ​–1​​​
   Järelikult –1 ∉ X.
3. Lahendame võrratuse x + 2 > 0, millest x > –2. Järelikult on logaritmi võimalik leida, kui
   ​x ∈ (–2; ∞).
   ​Kuna x = ​–1 ei kuulu määramispiirkonda, on funktsiooni g (x) määramispiirkonnaks
   ​X = (–2; –1) ∪ (–1; ∞).
4. Nullkohas g (x) = 0. Et murd on võrdne nulliga siis, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, lahendame võrrandi x² + 2x = 0, millest
   x₁ = –2, x₂ = 0
   ​​Kuna x₁ = –2 ei kuulu funktsiooni g (x) määramispiirkonda, siis on ainukeseks nullkohaks
   X⁰ = ​{0}.

\log_{\frac{1}{3}}\left(27\sqrt{3}\right)+2^{\log_425}=
=\log_{\frac{1}{3}}\left(3^3\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)+2^{\log_25}=
​​=\log_{\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{7}{2}}\right)+5=
​=\frac{7}{2}\log_{\frac{1}{3}}\left(3\right)+5=
=\frac{7}{2}\cdot\left(-1\right)+5=1,5​