Harjutus­ülesanded. Nelinurkne püramiid

Seotud sisu
Muud tegevused

Püramiid, mille kõrguse aluspunkt on põhiserval või põhja tipus

Ka nelinurksed püramiidid ei pea sugugi olema korrapärased. Kui püramiidi põhjaks on ruut, aga kõrguse aluspunkt pole ruudu diagonaalide lõikepunktis, siis ei ole ka püramiid korrapärane. Siin lehel vaatamegi, kuidas teostada arvutusi mittekorrapäraste nelinurksete püramiididega.

  • Joonisel on püramiid, mille põhjaks on ristkülik. Paremal on selle püramiidi vähendatud eest- ja pealtvaade. Püramiidi tipp T on oranž punkt ja kõrgus oranž kriipsjoon. Halli kriipsjoonega on märgitud külgservade AT ja BT ristprojektsioonid põhjal.
  • Liuguri abil saad muuta kõrguse aluspunkti P asukohta küljel CD ja näed, kuidas ühtlasi muutub püramiidi tipu T asukoht.
  • Kõik kolmnurgad selles püramiidis, mille üheks küljeks on kõrgus PT, on täisnurksed, sest kõrgus on põhjaga risti. See teadmine võimaldab leida täisnurkse kolmnurga trigonomeetria abil püramiidi puuduvaid elemente.
  • Kolmnurgad ADT ja BCT on täisnurksed, sest täisnurk projekteerub täisnurgaks, kui üks haar on tasandil (põhi on täisnurkne).

Jäta meelde!

V=\frac{Sp\cdot H}{3}

Püramiidi ruumala ei muutu, kui kõrguse asukohta muuta.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Püramiidi põhjaks on ristkülik ABCD, mille üks põhiserv moodustab teisest \frac{3}{7}. Püramiidi kõrguse PT aluspunkt P asub pikemal küljel CD ja jaotab selle külje lõikudeks CP ja DP, mille pikkuste suhe on 4:3. Arvuta selle püramiidi ruumala, kui pikim külgserv BT=15\sqrt{2}\ \mathrm{cm} moodustab põhjaga nurga 45°.

  • PT = BP =  cm
Vihje
Liiguta joonisel liugurit nii, et kõrguse aluspunkt P jaotaks külje CD (silma järgi) suhtes 4:3, siis saad parema ettekujutuse püramiidist.
Vaata kolmnurka BPT, mille hüpotenuus on külgserv BT. Teades, et selle kolmnurga mõlemad teravnurgad on 45°, arvuta püramiidi kõrguse PT ning külgserva projektsiooni BP pikkus.
  • AD = BC = x
Vihje
Kuna kõrguse aluspunkt jaotab pikema külje kaheks osaks, siis on nende osade pikkused
CP = 4x, DP = 3x ja külg CD = AB = 7x.
Avalda ristküliku lühem külg, kui ta moodustab pikemast 37.
  • x = 
  • AB = CD =  cm
  • AD = BC =  cm
Vihje
Vaata nüüd kolmnurka BCP ja leia Pythagorase teoreemi abil x ning põhiservad.
Vastused

Püramiidi ruumala on  cm3.

Lahendus
  1. Püramiidi kõrguse arvutame kolmnurgast BPT, mille hüpotenuus on külgserv BT. Teades, et selle kolmnurga mõlemad teravnurgad on 45°, saame
    ​H^2+H^2=\left(15\sqrt{2}\right)^2
    2H2 =450, H2 = 225
    ​​H = 15 (cm)
  2. Kuna kõrguse aluspunkt jaotab pikema külje kaheks osaks, siis on nende osade pikkused CP = 4x, DP = 3x ja külg CD = AB = 7x.
    Et ristküliku lühem külg moodutab pikemast \frac{3}{7}, siis
    AD=BC=\frac{3}{7}\cdot7x=3x ​​
  3. Kolmnurgast BCP saame x ja põhiservad.
    (4x)2 + (3x)2 = 152
    25x2 = 225
    ​​x2 = 9
    x = 3​
    AB = CD = 7 · 3 = 21 (cm)
    ​​AD = BC = 3 · 3 = 9 (cm)
  4. Sp = 9 · 21 = 189 (cm2)
  5. V=\frac{189\cdot15}{3}=945\ \left(\mathrm{cm^3}\right)
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Püramiidi põhjaks on ruut ABCD. Püramiidi külgtahk CDT on põhjaga risti ja selle külgtahu kõrguse PT aluspunkt P jaotab külje CD tipust C alates suhtes 1:3. Arvuta selle püramiidi ruumala ja külgpindala, kui külgserv AT=20\sqrt{3}\ \mathrm{cm} moodustab põhjaga nurga 30°.

Ruumala anna täpse arvuna, külgpindala ümarda ühelisteni.

  •   cm
  • põhiserv  cm
  • külgtahkude kõrgused
     cm
     cm
     cm
Vihje
Püramiidi kõrguse saad täisnurksest kolmnurgast ATP.
Põhiserv on pikkusega 4x.
Vastused

 cm3

 cm2

Lahendus
  1. Püramiidi kõrguse arvutame kolmnurgast APT.
    \sin30\degree=\frac{H}{20\sqrt{3}}
    H=\sin30\degree\cdot20\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
    Leiame ka AP pikkuse.​​
    ​​​\cos30\degree=\frac{AP}{20\sqrt{3}}
    AP=\cos30\degree\cdot20\sqrt{3}=30\ \mathrm{\left(cm\right)}
  2. Põhiserva pikkus on 4x, saame täisnurkse kolmnurga kaatetitega 3x ja 4x ning hüpotenuusiga 30.
    (3x)2 + (4x)2 = 302
    ​25x2 = 900
    x​2 = 36
    ​​x = 6
    ​Põhiserv = 4 · 6 = 24 (cm)
  3. V=\frac{24^2\cdot10\sqrt{3}}{3}=1920\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm^3\right)}
  4. Külgpindala leidmiseks tuleb kõikide külgtahkude pindalad kokku liita. Leiame esmalt külgtahkude kõrgused
    • CT^2=6^2+\left(10\sqrt{3}\right)^2
      ​CT=4\sqrt{21}\mathrm{\left(cm\right)}
    • DT^2=18^2+\left(10\sqrt{3}\right)^2
      DT=4\sqrt{39}\mathrm{\left(cm\right)}
    • \left(h_{\mathrm{\triangle ABT}}\right)^2=24^2+\left(10\sqrt{3}\right)^2
      ​​​h_{\mathrm{\triangle ABT}}=2\sqrt{219}\ \mathrm{\left(cm\right)}\mathrm{ }
  5. Leiame külgtahkude pindalad.
    • S_{\mathrm{\triangle CDT}}=\frac{24\cdot10\sqrt{3}}{2}=120\sqrt{3}\mathrm{\left(cm^2\right)}
    • S_{\mathrm{\triangle BCT}}=\frac{24\cdot4\sqrt{21}}{2}=48\sqrt{21}\mathrm{\left(cm^2\right)}
    • S_{\mathrm{\triangle DAT}}=\frac{24\cdot4\sqrt{39}}{2}=48\sqrt{39}\mathrm{\left(cm^2\right)}
    • ​​​S_{\mathrm{\triangle ABT}}=\frac{24\cdot2\sqrt{219}}{2}=24\sqrt{219}\mathrm{\left(cm^2\right)}
  6. Liidame külgtahkude pindalad.
    Sk ≈ 1083 cm2
Seotud sisu
Muud tegevused