Kolmerealine determinant

Kolmerealine determinant
Kolmerealise determinandi lahendamine nii, nagu seda tegi Lewis Carroll
Kolmerealise determinandi leidmine Sarruse reegli järgi
Kolmerealise determinandi leidmine sirgete meetodiga
Determinandi omadused
Determinandi arendusvalem

Lisää aiheesta

Kolmerealine determinant

Definitsioon

Kolmandat järku ruutmaatriksi

$A = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix})$

determinandiks nimetatakse suurust

$Δ = |A| = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}| .$

See on kolmerealine determinant, mille peadiagonaalil on elemendid a₁, b₂, c₃ ja kõrvaldiagonaalil c₁, b₂, a₃.

Determinandi arvutamine

$Δ = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|$

Kolmerealise determinandi arvutamiseks tuleb leida kuus selle elementidest moodustatud korrutist ja need liita nii, nagu reeglis kirjeldatud:

$Δ = a_{1} b_{2} c_{3} + b_{1} c_{2} a_{3} + c_{1} a_{2} b_{3} -$
$- c_{1} b_{2} a_{3} - a_{1} c_{2} b_{3} - b_{1} a_{2} c_{3} .$

Märka

Kaherealine determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe.

$|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$

Lisää aiheesta

Lewis Carrolli (LC) lahendus

Determinandi arvutamine LC meetodiga

$|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}| = \frac{|\begin{matrix} a e - b d & b f - c e \\ d h - e g & e i - f h \end{matrix}|}{e}$

Kolmerealine determinant on võrdne üksteise kõrval olevatest 2 × 2 blokkide kaherealistest determinantidest moodustatud determinandiga, mis on jagatud keskmise rea keskmise elemendiga ehk sisemise elemendiga.

Märka

Antud meetod võimaldab arvutada determinandi kaherealiste determinantide abil ning on seega mugav ja kiire.

Kui determinadi sisemine element e = 0, tuleb determinandis teha kaks rea või veeru vahetust nii, et e ≠ 0, sest nulliga ei saa jagada.

Näited

Näide 1

Leiame determinandi $D = |\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ - 3 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}| .$

Lahendus

Leiame neli kaherealist determinanti igast üksteise kõrval olevast 2 × 2 blokist.

1 ⋅ 4 – 2 ⋅ (–3) = 10
2 ⋅ 1 – 3 ⋅ 4 = –10
–3 ⋅ 5 – 4 ⋅ 0 = – 15
4 ⋅ (–2) – 1 ⋅ 5 = –13

Võime saadud arvud märkida determinati ridade ja veergude vahele.

$|\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 10 & -10 \\ - 3 & 4 & 1 \\ -15 & -13 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}|$

Leiame rohelise taustaga arvudest koosneva determinandi.

$|\begin{array}{r} 10 & -10 \\ -15 & -13 \end{array}| = - 280 \begin{matrix} \end{matrix}$

Jagame viimase tulemuse determinandi sisemusega e = 4.

–280 : 4 = –70

Vastus

D = –70.

Näide 2

Leiame determinandi $D = |\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 6 \end{matrix}| .$

Determinandi sisemine element on null. Teeme kaks ridade vahetust: esimene teisega ja siis kolmas teisega.

$D = |\begin{matrix} 3 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$

Leiame peast neli kaherealist determinanti ja võime need kirjutada

$D = |\begin{matrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & -3 \\ 5 & 1 & 6 \\ 9 & -8 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}| =$

$= \frac{3 \cdot (-8) - (-3) \cdot 9}{1} = 3$

15
7
9
20
–11
–20
3

Vastus

D = $\frac{}{}$ =

Lisää aiheesta

Sarruse reegel

Kolmerealise determinandi arvutamiseks tuleb leida kuus selle elementidest moodustatud korrutist ja need liita.

Igas korrutises on kolm elementi ning kolm korrutist võetakse sama märgiga, kolm vastandmärgiga.

Korrutiste märkide määramiseks võib kasutada järgmist skeemi, mida nimetatakse Sarruse reegliks.

Näide 3

Leiame determinandi.

$|\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \end{matrix}| =$

= 1 ⋅ 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 –
– 3 ⋅ 4 ⋅ 2 – 2 ⋅ 3 ⋅ 1 – 1 ⋅ 1 ⋅ 5 =
= 4 + 45 + 4 – 24 – 6 – 5 = 18

Vastus

Determinant on 18.

$D = |\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}| =$

1 + – +

+ 9 + 4 + =

Lisää aiheesta

Sirgete meetod

Veel üks lahendus

Determinandi arvutamiseks võib kasutada skeemi, milles on vaid sirged. Selleks kirjutame determinandi järele veel kord selle esimese ja teise veeru.

Peadiagonaali sihis moodustatud korrutised tuleb võtta sama märgiga, kõrvaldiagonaali sihis vastandmärgiga.

Vaata lahenduskeemi joonist!

Lahendusskeem

Näide 4

Arvutame determinandi $D = |\begin{array}{r} -2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & -1 \\ 6 & 5 & 1 \end{array}| .$

Lahendusskeem

Lahendus

–2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ (–1) ⋅ 6 +

+ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 – 3 ⋅ 4 ⋅ 6 –

– (–2) ⋅ (–1) ⋅ 5 – 1 ⋅ 3 ⋅ 1 =

= –8 – 6 + 45 – 72 – 10 – 3 =

= –54

Vastus

Determinant on –54.

$D = |\begin{array}{r} 1 & - 6 & 3 \\ 1 & 4 & - 2 \\ 1 & 4 & - 6 \end{array}|$

Skeem: $|\begin{array}{r} \begin{array}{r} 1 & - 6 & 3 \\ 1 & 4 & - 2 \\ 1 & 4 & - 6 \end{array} \end{array}| \begin{matrix} \end{matrix}$

D = –24 + + –

–36 + – =

Lisää aiheesta

Determinandi omadusi

Omadused

Determinant on võrdne nulliga, kui

determinandi ühes reas või veerus on kõik elemendid nullid;
determinandi kaks rida või veergu koosnevad võrdsetest elementidest;
determinandi kahe rea või veeru elemendid on võrdelised.

Märk muutub

Determinandi kahe rea või veeru elementide ümbertõstmisel muutub determinandi märk vastupidiseks.

Sama väärtus

Determinandi väärtus ei muutu, kui vahetada determinandi read ja veerud.

Korrutamine arvuga

Determinandi korrutamisel või jagamisel nullist erineva arvuga korrutatakse või jagatakse selle arvuga determinandi ühe rea või veeru elemendid.

Märka

Kui kolmerealise determinandi kõiki elemente korrutada arvuga n ≠ 0, siis muutub determinandi väärtus n³ korda.

Mõtle kaasa

Nulliga võrduvad determinandid

Determinandi ühe veeru elemendid on nullid.

$|\begin{array}{r} 12 & 0 & - 21 \\ 14 & 0 & 18 \\ 2 & 0 & 100 \end{array}| = 0$

Kahe veeru elemendid on võrdsed.

$|\begin{array}{r} 13 & 13 & - 21 \\ 17 & 17 & 18 \\ 2 & 2 & 100 \end{array}| = 0$

Kahe esimese rea elemendid on võrdelised.

$|\begin{array}{r} 3 & 13 & - 21 \\ 9 & 39 & - 63 \\ 2 & 2 & 100 \end{array}| = 0$

Võrdelised elemendid: $\frac{3}{9} = \frac{13}{39} = \frac{- 21}{- 63} .$

Leia determinant D₁.

$D_{1} = |\begin{array}{r} 2 & - 1 & 4 \\ 5 & 2 & - 1 \\ 0 & - 5 & - 2 \end{array}| =$

Vahetame esimese ja kolmada rea elemendid.

$D_{2} = |\begin{array}{r} 0 & - 5 & - 2 \\ 5 & 2 & - 1 \\ 2 & - 1 & 4 \end{array}| =$

Saime, et D₂ = D₁.
Vahetame D₂ teise ja kolmanda veeru elemendid.

$D_{3} = |\begin{array}{r} 0 & - 2 & - 5 \\ 5 & - 1 & 2 \\ 2 & 4 & - 1 \end{array}| =$

Saime, et D₃ = D₂.

$D_{1} = |\begin{array}{r} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ - 3 & 2 & - 5 \end{array}| =$

Vahetame determinandi D₁ read ja veerud, saame

$D_{2} = |\begin{array}{r} 2 & 1 & - 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & - 5 \end{array}| =$

Järeldus

D₁ D₂.

Arvutame determinandi D₁.

$D_{1} = |\begin{array}{r} 2 & - 2 & - 3 \\ - 5 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}| =$

Korrutame determinandi D₁ viimase rea 2-ga.

$D_{2} = |\begin{array}{r} 2 & - 2 & - 3 \\ - 5 & 1 & 2 \\ 6 & 6 & 0 \end{array}| =$

D2 = D₁

Korrutame determinandi D₁ kõiki elemente arvuga 2.

$D_{3} = |\begin{array}{r} \end{array}|$ =

D₃ = D₁

Lisää aiheesta

Determinandi arendusvalem

Arendusvalem

Olgu kolmerealise determinandi $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}|$ elemendid a_ij, kus i on rea ja j veeru number.

Arendame determinandi esimese rea järgi.

$D = a_{11} |\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}| - a_{12} |\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}| + a_{13} |\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}|$

Esimese rea elementidega korrutatakse kolm kaherealist determinanti.

Kui elemendi indeksite summa (i + j) on paarisarv, tuleb vastav korrutis liita.

Kui elemendi indeksite summa (i + j) on paaritu sarv, tuleb vastav korrutis lahutada.

Kaherealised determinandid saadakse nii, et kustutatakse või kaetakse kinni veerg ja rida, milles on esimesest reas valitud element a_1j.

Märka

Determinandi element a23 on teise rea kolmanda veeru element.
Determinandi väärtust saab arvutada ükskõik, millise rea või veeru järgi arendades.
Vali võimaluse korral arenduseks rida või veerg, milles on 1 või 2 nulli.

Näide 9

Leiame determinandi $|\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 3 & - 2 & 0 \end{matrix}| .$

Arendame determinandi kolmanda veeru järgi, kus kaks elementi on nullid. Seega tuleb arvutada vaid üks korrutis.
Elemendi 3 = a₁₃ indeksite summa on paarisarv 4, seega märk teguri 3 ees ei muutu.
Kaherealine determinant koosneb elementidest, mis jäävad alles pärast esimese rea ja kolmanda veeru eemaldamist.

$D = 3 \cdot |\begin{matrix} 4 & 5 \\ 3 & - 2 \end{matrix}| = 3 \cdot (- 8 - 15) =$

= 3 ⋅ (–23) = –69

Arvutamise abimees

$D = |\begin{matrix} 5 & - 4 & 3 \\ 2 & 7 & 1 \\ - 2 & 0 & 4 \end{matrix}|$

–7
–4
–2
1
2
3
4
5
+7

D =

Lisää aiheesta

Harjuta ja treeni

$|\begin{array}{r} 3 & 1 & - 1 \\ - 2 & 2 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}| =$

$|\begin{array}{r} 7 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}| =$

$|\begin{array}{r} 2 & 1 & 3 \\ - 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array}| =$

$|\begin{array}{r} 1 & 1 & - 1 \\ - 4 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}| =$

–12
12
–4
8
–18
–20
13
7

Vastus

D = $\frac{}{}$ =

Lewis Carrolli meetod

Tõestamine

Tõesta reegli

$Δ = |\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}| =$ $\frac{|\begin{matrix} a e - b d & b f - c e \\ d h - e g & e i - f h \end{matrix}|}{e}$

kehtivus, teades, et kolmerealine determinant

Δ = aei + bfg + cdh –

– ceg – bdi – afh.

Selleks avalda murru lugejas olev kaherealine determinant ning jaga see elemendiga e.

Lahendus on järgmisel slaidil.

Tõestamine

Avaldame kaherealise determinandi ja avame sulud

$|\begin{matrix} a e - b d & b f - c e \\ d h - e g & e i - f h \end{matrix}| =$

= (ae²i – aefh – bdei + bdfh) –

– (bdfh – bfeg – cedh + ce²g) =

= ae²i – aefh – bdei +

+ bdfh – bdfh +

+ bfeg + cedh – ce²g

Toome elemendi e sulu ette ja kirjutame esimesena +- märgiga liikmed.

e(aei + bfg + cdh – afh – bdi – ceg)

Jagame korrutise elemendiga e. Saame

aei + bfg + cdh – afh – bdi – ceg ■

$|\begin{array}{r} 2 & 1 & 4 \\ - 1 & 0 & x \\ x & 3 & 8 \end{array}| = - 12$

Lahendada tuleb ruutvõrrand

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$
$x^{2} + 6 x = 0$
$x^{2} + 8 x - 12 = 0$
$x^{2} - 8 x = 0$

Vastus

Võrrandi lahendid on

Lisää aiheesta

Jäta meelde

Sarruse meetod

Sirgete meetod

Lisää aiheesta

Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ

Rekisteröidy

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Kolmerealine determinant

Lisää aiheesta