Vektor ruumis

Vektori kirjeldamine koordinaatide kaudu
Teljesihilised ühikvektorid
Vektori esitamine ühikvektorite summana
Vektori pikkus

Mõisted

Märka

Vektorite esitamine ruumis toimub samade reeglite järgi nagu vektorite esitamine tasandil.

Vektor on suunatud lõik. Kui vektori $\vec{a}$ alguspunktiks on punkt A ja lõpp-punktiks punkt B, siis kirjutatakse $\vec{a} = \vec{A B} .$

Vektori pikkust tähistatakse absoluutväärtuse märgiga $|\vec{a}| = |\vec{A B}| .$

Peale pikkuse iseloomustab vektoreid veel siht ja suund. Vektori sihi määrab sirge, millel vektor asub. Kaks vektorit on samasihilised ehk kollineaarsed, kui need asuvad samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektori suunaks on suund alguspunktist lõpp-punkti ning seda näitab graafiliselt nooleke.

Vektorite võrdsus

Kaks vektorit $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ on võrdsed, kui neil on sama siht, suund ja pikkus. Sel juhul kirjutame $\vec{a} = \vec{b} .$

Vastandvektor

Vektori $\vec{a}$ vastandvektoriks on vektor $- \vec{a}$ , millel on sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund.

Nullvektor

Nullvektor $\vec{0}$ on vektor, mille pikkus on null. Nullvektori siht ega suund pole määratud.
Vektori ja selle vastandvektori summa on alati nullvektor.

$\vec{a} + (- \vec{a}) = \vec{0}$

Korrutamine arvuga

Kui korrutada vektor $\vec{a}$ arvuga k, muutub selle pikkus k korda
(pikeneb, kui $|\vec{k}| > 1,$ ja lüheneb, kui $|\vec{k}| < 1).$

Saadud vektor $\vec{b}$ on samasuunaline vektoriga $\vec{a}$ , kui k > 0, ja vastassuunaline, kui k < 0.

Ühikvektor

Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on 1.

Koordinaattelgedesuunalisi ühikvektoreid tähistatakse

$\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k} .$

Liitmine ja lahutamine

Vektorite liitmine ja lahutamine ruumis toimub samade reeglite järgi nagu tasandil.

Vektoreid liites võib kasutada kolmnurga- või rööpkülikureeglit.

Koordinaattelgedesuunalised ühikvektorid ehk baasvektorid

$\vec{H G} =$ $\vec{a}$
$\vec{H I} =$ $\vec{b}$
$\vec{H B} =$ $\vec{c}$

$\vec{I J} =$

$\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{I G} =$

$\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{F D} =$

$\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{H E} =$ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Lisää aiheesta

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaatide seos punkti koordinaatidega.

Vaatleme vektorit $\vec{p} = \vec{O P}$ koordinaatide alguspunktist punkti P(x₁ ; y₁ ; z₁). Koordinaattelgedel saab võtta teljesihilised vektorid nullpunktist kuni punkti P koordinaadiga määratud kohani.

Tähistame need vektorid vastavalt $\vec{a},$ $\vec{b}$ ja $\vec{c} .$ Vektor $\vec{r}$ (vt joonist) on vastavalt rööpkülikureeglile $\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} .$

Seega
$\vec{p} = \vec{r} + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} .$

Vektoreid $\vec{a},$ $\vec{b}$ ja $\vec{c}$ nimetatakse vektori $\vec{p}$ komponentideks.

Vektor $\vec{a}$ on samasihiline vektoriga $\vec{i}$ ning selle pikkus on x₁. Vektori $\vec{a}$ suund sõltub x₁ märgist, siit $\vec{a} = x_{1} \cdot \vec{i} .$ Analoogselt leiame $\vec{b}$ ja $\vec{c},$ järelikult

$\vec{p} = x_{1} \cdot \vec{i} + y_{1} \cdot \vec{j} + z_{1} \cdot \vec{k} .$

Näeme, et suvalise vektori $\vec{p}$ võib esitada kolme teljesuunalise ühikvektori kaudu. Seepärast nimetatakse neid ühikvektoreid baasvektoriteks, arvkordajaid x₁, y₁ ja z₁ aga vektori koordinaatideks, ja kirjutatakse

$\vec{p}$ = (x₁; y₁; z₁).

Märka

Koordinaatide alguspunktist punkti P tõmmatud vektorit $\vec{p} = \vec{O P}$ nimetatakse selle punkti kohavektoriks. Kohavektoril on samad koordinaadid, mis on punktil endal.

Vektori $\vec{a}$ koordinaatideks nimetatakse arvkordajaid a₁, a₂ ja a₃ vektori esituses baasvektorite kaudu.

$\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$

Arvuga korrutamine

Vektorit $\vec{a}$ arvuga k korrutades tuleb selle iga koordinaat korrutada arvuga k.

Liitmine ja lahutamine

Vektoreid liites või lahutades tuleb liita või lahutada vektorite vastavad koordinaadid.

$\vec{a} = (2; - 1; - 5),$ ,
$\vec{b} = (0; 3; -2) .$

$2 \vec{a} - \vec{b} = (;;)$
$\vec{a} + 3 \vec{b} = (;;)$

Lisää aiheesta

Punkt ja vektor

Vaatleme nüüd vektorit, mille alguspunkt on A(x₁; y₁; z₁) ja lõpp-punkt B(x₂; y₂; z₂). Punktide A ja B kohavektorid on
$\vec{O A} =$ (x₁; y₁; z₁) ja $\vec{O B} =$ (x₂; y₂; z₂).

Jooniselt näeme, et kolmnurgareegli kohaselt

$\vec{O A} + \vec{a} = \vec{O B}$
ehk
$\vec{a} = \vec{O B} - \vec{O A},$

järelikult
$\vec{a} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1}) .$

Vektori koordinaadid võrduvad selle lõpp-punkti B(x₂; y₂; z₂) ja alguspunkti A(x₁; y₁; z₁) vastavate koordinaatide vahega.

Järelikult $\vec{A B}$ = (x₂ – x₁; y₂ – y₁; z₂ – z₁).

Vektori pikkus on võrdne ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast.

$|\vec{A B}| =$ $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Näide

Vektor

Leiame vektori $|\vec{u}|,$ kui $\vec{u} = \vec{M N}$ ja M(2; –5; 1) ja N(–1; –3; 1).

$\vec{u} = \vec{M N} =$ (–1 – 2; –3 + 5; 1 – 1)

$\vec{u} = \vec{M N} =$ = (–3; 2; 0)

$|\vec{u}| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{13}$

$|\vec{u}| = \sqrt{{(-5)}^{2} + {(-2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{}$

$|\vec{u}| = |\vec{A B}|,$

A(; –1; 4) ja B(3; –3; )

$\vec{m} = 2 \vec{i} - \vec{j} + 3 \vec{k},$
$\vec{m} = \vec{A B},$
A(1; –5; 3),
B(; ; )
$\vec{n} = 7 \vec{i} + 4 \vec{j} - 5 \vec{k}$
$|\vec{m} + \vec{n}| =$ $\sqrt{}$

Lisää aiheesta

Harjuta ja treeni

$\vec{s} = - \vec{a} - 3 \vec{b}$
$\vec{t} = \vec{a} - 2,5 \vec{b}$
$\vec{a} = \vec{A B},$ $\vec{b} = \vec{B C}$
A(3; –2; 1), B(5; 2; 4), C(4; 3; 2)

seega

$\vec{s} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
$\vec{t} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

A(–2; 3; –1), B(4; 0; 0), C(3; 3 –3)

xy-tasand:
- A′(; ; )
- B′(; ; )
- C′(; ; )
- P_A′B′C′≈

yz-tasand:
- P_A″B″C″≈
xz-tasand:
- P_A‴B‴C‴≈

Projektsioonide ümbermõõdud on

võrdkülgne
võrdhaarne
isekülgne
ei ole kolmnurk

1)	A(2; 5; 1) B(4; 5; 2) C(–1; –1; 9,5)
2)	A(–5; 3; 4) B(–1; –7; 5) C(6; –5; –3)
3)	A(2; 5; 1) B(4; 5; 2) C(6; 5; 3)
4)	A(2; 3; –2) B(0; 5; –2) C(2; 5; –4)
5)	A(4; 5; 2) B(6; 5; 3) C(7; 5; 1)

Lisää aiheesta

Jäta meelde

Kui vektoritel on sama siht, suund ja pikkus, siis nad on
$\vec{a}$ ja $- \vec{a}$ on vektorid.
$\vec{a}$ ja $- \vec{a}$ on
$\vec{a} + (- \vec{a})$ on
Teljesihilised ühikvektorid märgitakse tähtedega
$\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c},$ kus $\vec{a},$ $\vec{b},$ $\vec{c}$ on $\vec{p}$
Vektorid $\vec{a}$ ja $k \vec{a}$ on
$k \vec{a}$ on vektorist $\vec{a}$ kui k > 1.
$k \vec{a}$ on vektorist $\vec{a}$ kui 0 < k < 1.
Vektoreid liites või lahutades tuleb liita või lahutada vektorite vastavad
Vektorite pikkus on võrdne vektorite koordinaatide ruutude summast.
Punktist (0; 0) punkti P tõmmatud vektor on selle punkti

Lisää aiheesta

Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ

Rekisteröidy

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Vektor ruumis

Lisää aiheesta

Mõisted

Märka

Vektorite võrdsus

Vastandvektor

Nullvektor

Korrutamine arvuga

Ühikvektor

Liitmine ja lahutamine

Lisää aiheesta

Vektori koordinaadid

Märka

Arvuga korrutamine

Liitmine ja lahutamine

Lisää aiheesta

Punkt ja vektor

Näide

Vektor

Lisää aiheesta

Harjuta ja treeni

Lisää aiheesta

Jäta meelde

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä