Ruutvõrrand ax² + bx + c = 0

Õpime nüüd lahendama täielikku ruutvõrrandit ax² + bx + c = 0.

Idee saamiseks uurime kõigepealt, kuidas lahendas ruutvõrrandit x² + 10x = 39 algebra rajajaks peetav Pärsia matemaatik al-Khwarizmi oma u 830. aastal ilmunud raamatus. Võrrandi lahendamiseks joonestas ta ristküliku, mis koosneb ruudust küljepikkusega x ja ristkülikust küljepikkustega x ja 10 (vaata joonist). Sellise ristküliku pindala on x² + 10x ehk 39.

Edasi tükeldas ta ristküliku külgedega x ja 10 kaheks võrdseks osaks ja paigutas need nii, nagu näha alumisel joonisel. Nüüd täiendas ta joonist ruuduks küljepikkusega x + 5 ja pindalaga (x + 5)². Selles ruudus sisaldub lisaks esialgsele ristkülikule veel värvimata ruut küljepikkusega 5. Joonise põhjal saab koostada võrrandi (x + 5)² = 39 + 25 ehk (x + 5)² = 64. Sellest võrrandist leiame, et x + 5 = 8 või x + 5 = –8. Seega x = 3 või x = –13. Kontroll näitab, et mõlemad arvud sobivad esialgse võrrandi x² + 10x = 39 lahenditeks.

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Vaatame veelkord üle, kuidas on joonisele toetudes võrrandit x² + 10x = 39 teisendatud. Kõigepealt on liige 10x esitatud kujul 2 · 5x, samuti on lisatud joonisele arvu 5 ruut. Selliselt tekib vasakule avaldis x²+ 2 · 5x +5², mis on kaksliikme ruut (x + 5)². Esialgse võrrandi vasaku poolega võrreldes on aga nüüd sinna lisandunud 25. Et võrrand jääks esialgsega samaväärseks, tuleb ka paremale poolele liita 25 ja nii saamegi võrrandi (x + 5)² = 39 + 25 ehk võrrandi (x + 5)² = 64.

Oleme ruutvõrrandi lahendamiseks saanud ühe võtte, mis seisneb kaksliikme ruudu eraldamises.

Näide 1

Lahendame ruutvõrrandi 4x² + 12x + 5 = 0, teisendades vasaku poole kaksliikme ruuduks.

Viime esmalt vabaliikme vasakult poolelt paremale:

4x² + 12x = –5.

Viimase võrrandi vasakut poolt täiendame nii, et sinna tekiks kaksliikme ruut. Et 4x² + 12x = (2x)² + 2 · 2x · 3, siis tuleks vasakul poolel oleva avaldisega liita 3² ehk 9. Et võrrand jääks esialgsega samaväärseks, tuleb sama arv liita ka parema poolega. Nii saame:

(2x)² + 2 · 2x · 3 + 9 = 9 – 5 ehk (2x + 3)² = 4

Leidnud viimase võrrandi mõlemast poolest ruutjuure saame edasi:

$\begin{array}{rcl} |2 x + 3| & = & 2 \\ 2 x + 3 & = & \pm 2 \\ 2 x & = & - 3 \pm 2 \\ x & = & \frac{- 3 \pm 2}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 3 - 2}{2} = - 2,5 \\ x_{2} & = & \frac{- 3 + 2}{2} = - 0,5 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a^{2}} & = & |a| \end{array}$

Kontrollime lahendit –2,5. Selleks asetame selle arvu lähtevõrrandisse tundmatu x asemele. Saame:

4 · (–2,5)² + 12 · (–2,5) + 5 = 4 · 6,25 – 30 + 5 = 0.

Ka arv –0,5 rahuldab antud võrrandit. Seega on sel võrrandil kaks lahendit: –2,5 ja –0,5.

Vastus. x₁ = –2,5, x₂ = –0,5.

Näide 2

Lahendame võrrandi 5x² + 9x – 2 = 0.

Korrutame võrrandi mõlemaid pooli sellise teguriga, et ruutliikme kordaja oleks mingi täisarvu ruut. Selliseks teguriks sobib antud võrrandi ruutliikme kordaja 5. Siis saame uue, endisega samaväärse võrrandi

25x² + 45x – 10 = 0 ehk (5x)² + 2 · 5x · 4,5 = 10.

Et saadud võrrandi vasakule poolele tekiks kaksliikme ruut, on sinna vaja liita 4,5² = 20,25. Muidugi tuleb siis sama arv liita ka võrrandi parema poolega. Nii saame:

(5x)² + 2 · 5x · 4,5 + 20,25 = 30,25 ehk (5x + 4,5)² = 30,25.

Edasi saame eelmise näite eeskujul:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 4,5 & = & \pm \sqrt{30,25} \\ 5 x + 4,5 & = & \pm 5,5 \\ 5 x & = & - 4,5 \pm 5,5 \\ x & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} \\ x_{1} & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} = - 2 \\ x_{2} & = & \frac{- 4,5 \pm 5,5}{5} = 0,2 \end{array}$

Vastus. x₁ = –2, x₂ = 0,2.

Lisää aiheesta

Ülesanded A

(x – 2)² =

(9s + 3t)² =

(2x – 3y)² =

(2a² + b)² =

m² + 2mn + n² = ()²

x² + y² – 2xy = ()²

4a² – 4ax + x² = ()²

x² + ax + 0,25a² = ()²

x² + 2xy +

m² + 2m +

a² – 2a +

z² – 4z +

9s² + 6s +

25n² – 20n +

Vihje

Jaota ristkülik vasakpoolsel joonisel kaheks võrdseks osaks ning paiguta pooled ülestikku ruutu küljepikkusega 5 nagu parempoolsel joonisel.

x² – 6x + 8 = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 4x – 5 = 0
x₁ = , x₂ =

4x² – 4x – 3 = 0
x₁ = , x₂ =

9x² + 6x + 3 = 0

Lisää aiheesta

Ülesanded B

2x² – 5x + 2 = 0
x₁ = , x₂ =

3t² – 11t + 6 = 0
t₁ = , t₂ =

5x² + 24x – 5 = 0
x₁ = , x₂ =

6u² + 17u + 10 = 0
u₁ = , u₂ =

Lisää aiheesta

Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ

Rekisteröidy

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Ruut­võrrand ax2 + bx + c = 0

Näide 1

Näide 2

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Vihje

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä

Ruutvõrrand ax² + bx + c = 0