Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamine

Ruutvõrrandi ax² + c = 0 lahendamine

Kui normaalkujulises võrrandis ax² + bx + c = 0 võtta b = 0, siis saame mittetäieliku võrrandi ax² + c = 0. Seda liiki ruutvõrrandeid lahendasime juba eelnevates peatükides ruutjuure definitsioonist lähtudes.

Näide 1

Lahendame ruutvõrrandi 2x² – 18 = 0.

Viime vabaliikme paremale poole võrdusmärki ja saame:

2x² = 18 | : 2 ehk x² = 9.

Neid arve, mille ruut on 9, on kaks: arvud –3 ja 3. Võttes väiksema lahendi tähiseks x₁ ja suurema omaks x₂, võime anda vastuse nii: x₁ = –3, x₂ = 3.

Tavaliselt kirjutatakse lahenduskäik üles järgmiselt: x² = 9, millest $x = \pm \sqrt{9}$ (loe: x võrdub pluss-miinus ruutjuurega üheksast) ja x = ±3 ehk x₁ = –3, x₂ = 3.

Seda võrrandit võib lahendada ka teisiti. Kasutame võrrandist x² = 9 tundmatu x avaldamiseks seost $\sqrt{a^{2}} = |a| .$ Teisiti öeldes, leiame võrrandi x² = 9 mõlemast poolest ruutjuure. Saame, et $|x| = \sqrt{9}$ ehk $|x| = 3 .$ Selliseid arve, mille absoluutväärtus on 3, on kaks: arvud –3 ja 3.

Vastus. x₁ = –3, x₂ = 3.

Näide 2

Võrrandi 2x² + 8 = 0 lahendamisel saame, et 2x² = –8 ehk x² = –4.

Et ühegi arvu ruut meile tuntud arvude hulgas ei saa olla negatiivne, siis antud võrrandil puuduvad lahendid.

Vastus. Lahendid puuduvad.

Paljude tekstülesannete lahendamiseks tuleb koostada ruutvõrrand. Selliste ülesannete lahendamisel peame arvestama, et olenevalt ülesande sisust võib ülesande vastuseks sobida ainult üks leitud lahend. Seepärast tuleb võrrandi lahendeid alati kontrollida ülesande teksti järgi.

Näide 3

On kaks ruutu, millest ühe külje pikkus on teise omast 2 korda pikem. Nende ruutude pindalade summa on 100 cm². Leiame nende ruutude küljed.

Lahendus. Olgu väiksema ruudu külje pikkus x cm, siis suurema ruudu külje pikkus on 2x cm. Väiksema ruudu pindala on x² cm² ja suurema oma (2x)² ehk 4x² cm². Kuna nende ruutude pindalade summa on 100 cm², siis saame võrrandi x² + 4x² = 100, mille lahendamisel saame:

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} & = & 100 \\ x^{2} & = & 20 \\ x & = & \pm \sqrt{20} ehk x = \pm 2 \sqrt{5} \end{array}$

Negatiivne arv ruudu külje pikkusena ei sobi. Seega on väiksema ruudu külg $2 \sqrt{5} cm$ ja suurema oma järelikult $4 \sqrt{5} cm$ .

Kontrolliks arvutame nende ruutude pindalade summa:

${(2 \sqrt{5})}^{2} + {(4 \sqrt{5})}^{2} = 20 + 80 = 100 .$

Vastus. Ruutude küljed on $2 \sqrt{5}$ ja $4 \sqrt{5} cm.$

Märkus. Vastuses võib jätta ruutjuured välja arvutamata. Kui aga ülesandes nõutakse ümardatud vastuseid, siis tuleb muidugi need arvutused teha ja esitada vastus nõutud täpsusega. Eelmise näite vastused võiksime anda näiteks kümnendikeni ümardatult. Arvuti abil leiame siis, et ruutude küljed on 4,5 cm ja 8,9 cm.

Seotud sisu

Ruutvõrrandi ax² + bx = 0 lahendamine

Vaadeldava ruutvõrrandi lahendamisel kasutame korrutise nulliga võrdumise tingimust:

kui vähemalt üks tegureist on võrdne nulliga, siis on korrutis võrdne nulliga ja ümberpöördult, kui korrutis on võrdne nulliga, siis on vähemalt üks tegureist võrdne nulliga.

Näide 4

Lahendame võrrandi 0,5x² + 2x = 0.

Selle võrrandi vasakul poolel on mõlemas liikmes ühine tegur x, mille toome sulgude ette. Nii saame uue võrrandi, mille vasak pool on kahe teguri korrutis:

x(0,5x + 2) = 0.

Teades korrutise nulliga võrdumise tingimust, võime kirjutada, et

x = 0 või 0,5x + 2 = 0.

Võrrandi 0,5x + 2 = 0 lahendamisel saame, et 0,5x = –2, millest $x = \frac{- 2}{0, 5} = - 4 .$

Seega on lähtevõrrandil kaks lahendit: x = 0 või x = –4.

Vastus. x₁ = –4, x₂ = 0.

Seotud sisu

Ülesanded A

$|0| =$

$|-2| =$

$|4,5| =$

$|-3,8| =$

$|x| = 5$
x₁ = , x₂ =

$|2 t| = 10$
t₁ = , t₂ =

$|x - 1| = 2$
x₁ = , x₂ =

$|t| = - 1$

x² – 36 = 0
x₁ = , x₂ =

2n² – 18 = 0
n₁ = , n₂ =

0,2u² – 20 = 0
u₁ = , u₂ =

t² – 49 = 0
t₁ = , t₂ =

3s² – 75 = 0
s₁ = , s₂ =

2x² + 50 = 0

(x – 3)(x + 4) = 0
x₁ = , x₂

(2x – 4)(x – 8) = 0
x₁ = , x₂

(x + 1)(x – 1) = 0
x₁ = , x₂ =

x² – 10x = 0
x₁ = , x₂ =

t² + 6t = 0
t₁ = , t₂ =

2x² – 4x = 0
x₁ = , x₂ =

3u² – 2u = 0
u₁ = , u₂ =

17x² = 0
x₁ = , x₂ =

7s² + 14s = 0
s₁ = , s₂ =

x(x – 2) = 9 – 2x
x₁ = , x₂ =

2(t² + 5) = 10
t₁ = , t₂ =

0,1(3t² – 13) = –1
t₁ = , t₂ =

5t(t – 5) + 2 = 2 + 5t
t₁ = , t₂ =

u – 2(u² + u – 1) = 2
u₁ = , u₂ =

5x + 16 = x(x + 5)
x₁ = , x₂ =

3u² – u(u + 1) = 18 – u
u₁ = , u₂ =

2x² + x(x – 7) = 3 – 7x
x₁ = , x₂ =

1 – 6(x² – x – 1) = 7
x₁ = , x₂ =

5x² – 2x(x – 3) = 0
x₁ = , x₂ =

2x² – 10 = 0
x₁ ≈ , x₂ ≈

5t² – 12 = 0
t₁ ≈ , t₂ ≈

x(x – 5) + x² = 7 – 5x
x₁ ≈ , x₂ ≈

3u(u – 3) = 9(2 – u)
u₁ ≈ , u₂ ≈

3x² – 2 = 0
x₁ ≈ , x₂ ≈

5t² – 1 = 0
t₁ ≈ , t₂ ≈

2t(t – 1) = 345 – 2t
t₁ ≈ , t₂ ≈

u(2u + 7) – 5 = u(u + 7)
u₁ ≈ , u₂ ≈

Vastus. Kuubi serv on cm ja kuubi ruumala on cm³.

Vastus. d ≈ dm.

Vastus. Selle ristkülikuga võrdpindse ruudu külg on $\sqrt{}$ ≈ (cm).

Vastus. See arv on .

Vastus. Ruudu külg on cm ja ristküliku pindala cm².

Vastus. Rööpküliku pindala on cm².

Seotud sisu

Ülesanded B

Näita, et võrrandi ax² + bx = 0 nullist erinev lahend avaldub kujul $x = - \frac{b}{a}$ ning selgita, missugustel a ja b väärtustel on see lahend positiivne, missugustel negatiivne.

Näita, et võrrandi ax² + c = 0 lahend avaldub üldkujul nii: $x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$ . Uuri, millised peavad olema c ja a väärtused, et see võrrand lahenduks.

$3 x^{2} - \sqrt{8} = 0$
x₁ ≈ , x₂ ≈

$z^{2} \sqrt{7} - 5 = 0$
z₁ ≈ , z₂ ≈

$u (u \sqrt{3} + 2) = 2 u + 1$
u₁ ≈ , u₂ ≈

$(\sqrt{5} - t) t + \sqrt{5} = t \sqrt{5}$
t₁ ≈ , t₂ ≈

27,1x² – 40 = 0
x₁ ≈ , x₂ ≈

$x^{2} \sqrt{10} = 3$
x₁ ≈ , x₂ ≈

$x^{2} \sqrt{2} + 2 x = 0$
x₁ ≈ , x₂ ≈

3,89t² – 1,02 = 0
t₁ ≈ , t₂ ≈

$u (u \sqrt{5} - 5 u) = 3 - 5 u^{2}$
u₁ ≈ , u₂ ≈

$m^{2} \sqrt{5} + 5 m = m^{2}$
m₁ ≈ , m₂ ≈

Vastus. d ≈ cm.

Vastus. Need arvud on (kasvavalt) , , .

Vihje

Tähista otsitavatest arvudest keskmine tähega x.

Vastus. Ruudu külg kasvab ligikaudu %.

Vastus. Ruudu diagonaal on siis $\sqrt{}$ ≈ (cm).

Vihje

Arvesta, et ruut on romb, ja meenuta, kuidas saab rombi pindala arvutada.

Vastus. Täisnurkse kolmnurga pindala on ligikaudu cm² ja ringi pindala ligikaudu cm².

Vastus. Trapetsi pindala on cm² ja rombi pindala on cm².

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Mitte­täieliku ruut­võrrandi lahendamine

Seotud sisu

Ruut­võrrandi ax2 + c = 0 lahendamine

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Seotud sisu

Ruut­võrrandi ax2 + bx = 0 lahendamine

Näide 4

Seotud sisu

Ülesanded A

Seotud sisu

Ülesanded B

Vihje

Vihje

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamine

Ruutvõrrandi ax² + c = 0 lahendamine

Ruutvõrrandi ax² + bx = 0 lahendamine