Kõik seni vaadeldud ruutfunktsioonid on erijuhud üldisemast ruutfunktsioonist y = ax2 + bx + c, kus x ja y on muutujad ning a, b, c antud arvud, a ≠ 0. Uurime nüüd, kuidas joonestada selle funktsiooni graafikut. Teame, kuidas saada ruutfunktsiooni y = ax2 graafikust funktsiooni y = a(x +m)2 + n graafikut. Samuti oskame viia funktsiooni y = a(x + m)2 + n kujule y = ax2 + bx + c. Et joonistada funktsiooni y = ax2 + bx + c graafikut, peaksime aga oskama vastupidist – anda funktsioonile y = ax2 + bx + c kuju y = a(x + m)2 + n. Selleks peame teadma valemeid parameetrite m ja n arvutamiseks kordajate a, b ja c kaudu nii, et kehtiks seos.
Pärast õpiku järgmise teema läbivõtmist oskad Sa näidata, et kehtib seos
Kahe viimase seose võrdlus näitab, et ja .
Seega
ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku saame ruutfunktsiooni y = ax2 graafikust kahe nihutamise abil.
- Nihutame funktsiooni y = ax2 graafikut piki x-telge |m| ühikut paremale, kui m < 0, või vasakule, kui m > 0. Nii saame funktsiooni graafiku.
- Nihutame saadud graafikut y-teljega paralleelselt |n| ühikut üles, kui n > 0, või alla, kui n < 0.
Veel teame, et sellistel nihutamistel muutub nii parabooli telg kui ka haripunkt.
Saame, et
ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool, mille telg on paralleelne y-teljega ja mille haripunkt on punktis .
Võttes valemis y = ax2 + bx + c muutuja x = 0, näeme veel, et ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik lõikab y-telge punktis L(0; c).
Näide
Visandame funktsiooni y = 2x2 – 12x + 10 graafiku. Leiame selleks vajaliku informatsiooni.
Kuna ruutliikme kordaja a > 0, siis parabool avaneb üles.
Et leida funktsiooni nullkohad, lahendame võrrandi 2x2 – 12x + 10 = 0 ja saame, et
x1 = 1 ja x2 = 5.
Funktsiooni graafiku ja y-telje lõikepunkti leidmiseks arvutame funktsiooni y = 2x2 – 12x + 10 väärtuse, kui x = 0 ja saame, et y = 2 ⋅ 02 – 12 ⋅ 0 + 10 = 10.
Seega otsitav punkt on L(0; 10).
Lõpuks leiame graafiku haripunkti koordinaadid –m ja n. Selleks asendame a, b ja c väärtused valemitesse ja ning saame, et ja .
Seega asub graafiku haripunkt punktis H(3; –8). Kasutades leitud andmeid, visandame ruutfunktsiooni y = 2x2 – 12x + 10 graafiku.
Märkus. Olles leidnud graafiku haripunkti esimese koordinaadi (x = 3), võime teise koordinaadi arvutada ka funktsiooni avaldisest: y = 2 · 32 – 12 · 3 + 10 = –8.
Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c nullkohtade leidmiseks lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0. Sellel võrrandil võib olla kaks erinevat, kaks võrdset (ehk üks) või mitte ühtegi lahendit. Seega ka vastaval ruutfunktsioonil võib olla kaks erinevat, kaks võrdset (ehk üks) või mitte ühtegi nullkohta.
Ülesanded A
- Kuidas nimetatakse selle valemi paremat poolt?
Vastus. Valemi paremat poolt nimetatakse . - Milliseid nimesid kannavad valemi parema poole üksikud liikmed?
Vastus. Liige –3x2 on , 24x on ja –36 on . - Missugust y-telje punkti läbib selle funktsiooni graafik?
Vastus. Selle funktsiooni graafik läbib y-telje punkti . - Kuhu avaneb antud funktsiooni graafik?
Vastus. Antud funktsiooni graafik avaneb . - Mis on selle funktsiooni graafiku haripunkti koordinaadid?
Vastus. Selle funktsiooni graafiku haripunkti koordinaadid on . - Millise funktsiooni y = ax2 graafikut ja kuidas tuleks nihutada, et saada selle ruutfunktsiooni graafik?
Vastus. Selle ruutfunktsiooni graafiku saamiseks tuleb funktsiooni nihutada piki x-telge ühikut ja piki y-telge ühikut .
Vastus. , x1 = ; x2 = .
Vastus. Nihutamisel saab funktsiooni y =
Leia selle funktsiooni graafiku haripunkti ja y-teljega lõikepunkti koordinaadid.
Vastus. ,
Vastus. Saadud graafiku . Funktsiooni y = x2 + 2x nullkohad on ja ning funktsiooni y = –x2 – 2x + 3 nullkohad on ja .
Vastus. x1 = ; x2 = ; ; .
Vastus. ; ; .
Vastus. b = .
Vastus. a =
Leia ruutfunktsiooni graafiku haripunkti abstsiss, kui selle funktsiooni nullkohad on antud.
Nullkohad | Haripunkti abstsiss |
x1 = –2 ja x2 = 4 | xh = |
x1 = 105 ja x2 = 239 | xh = |
x1 = a ja x2 = b | xh = |
- On teada, et ruutfunktsioonil on kaks erinevat nullkohta. Kirjelda selle ruutfunktsiooni graafiku asendit koordinaatteljestikus, kui
a) ruutliikme kordaja a > 0;
b) ruutliikme kordaja a < 0.
- On teada, et ruutfunktsioonil on kaks võrdset nullkohta. Kirjelda selle ruutfunktsiooni graafiku asendit koordinaatteljestikus, kui
a) ruutliikme kordaja a > 0;
b) ruutliikme kordaja a < 0.
- On teada, et ruutfunktsioonil puuduvad nullkohad. Kirjelda selle ruutfunktsiooni graafiku asendit koordinaatteljestikus, kui
a) ruutliikme kordaja a > 0;
b) ruutliikme kordaja a < 0.
Ülesanded B
Vastus. Nullkohad kasvavas järjekorras: x1 =
Vastus. b = ; c = ; .
Vastus. .
Vastus. xh = .
y =
Mis funktsiooniga on tegemist? Joonesta selle funktsiooni graafik. Millist informatsiooni saab sellelt graafikult lugeda?
- Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ