Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Millist avaldist nimetatakse ratsionaalavaldiseks, täisavaldiseks, algebraliseks murruks?
Kuidas leida avaldiste vastavaid väärtusi?
Milliseid muutujaid sisaldavaid avaldisi nimetatakse võrdseteks?

Kuidas on saadud tulemus seotud mõeldud arvudega?
Kontrolli, kas Sinu poolt pakutud oletus kehtib ka teiste arvupaaride korral!
Esita saadud tulemus vastavate avaldiste võrdusena.
Millistel lisatingimustel osutub saadud võrdus samasuseks?

Oleme õppinud algebralisi murde liitma, lahutama, korrutama, jagama ja astendama. Nüüd õpime lihtsustama suvalist muutujat sisaldavat avaldist, mille moodustamisel on kasutatud mainitud tehteid ja sulge. Selleks sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru kuju. Võimaluse korral taandame selle. Kui saadud taandatud murru nimetajaks on arv 1, siis esitame vastuse ilma murrujooneta.

Näide 1

$(\overset{9 a}{1} - \frac{4}{9 a}) : (\overset{4}{\frac{7}{6 a^{2}}} - \overset{3 a}{\frac{21}{8 a}})$ = $\frac{9 a - 4}{9 a} : \frac{28 - 63 a}{24 a^{2}}$ = $\frac{(9 a - 4) \cdot 24 a^{2}}{9 a \cdot 7 (4 - 9 a)}$ = $\frac{- \overset{1}{(4 - 9 a)} \cdot \overset{8}{24} \overset{a}{a^{2}}}{\underset{3}{9} \underset{1}{a} \cdot 7 \underset{1}{(4 - 9 a)}}$ = $- \frac{8 a}{21}$

Näide 2

$(\overset{a}{\frac{1}{b}} - \frac{2}{a b}) (\frac{2}{a - 2} + \frac{a - 4}{a^{2} - 4})$ = $\frac{a - 2}{a b} (\overset{a + 2}{\frac{2}{a - 2}} + \frac{a - 4}{(a - 2) (a + 2)})$ = $\frac{a - 2}{a b} \cdot \frac{2 a + 4 + a - 4}{(a - 2) (a + 2)}$ = $\frac{\overset{1}{(a - 2)} 3 \overset{1}{a}}{\underset{1}{a} b \underset{1}{(a - 2)} (a + 2)}$ = $\frac{3}{b (a + 2)}$

Arvesta tehete järjekorda!

Näide 3

$\frac{1}{a + b} + \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{1}{a + b} + \frac{2 \overset{1}{b} \overset{1}{(a - b)}}{\underset{1}{(a - b)} (a + b) a \underset{1}{b}}$ = $\overset{a}{\frac{1}{a + b}} + \frac{2}{(a + b) a}$ = $\frac{a + 2}{a (a + b)}$

Näide 4

$(\frac{1}{a + b} + \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}) \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $[\overset{a - b}{\frac{1}{a + b}} + \frac{2 b}{(a + b) (a - b)}] \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{a - b + 2 b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{\overset{1}{(a + b)} \overset{1}{(a - b)}}{\underset{1}{(a + b)} \underset{1}{(a - b)} a b}$ = $\frac{1}{a b}$

Näide 5

$(\frac{x y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{y - x}) : (\overset{x + y}{x - y} + \frac{4 y^{2} - x^{2}}{x + y})$ = $[\frac{x y}{(x - y) (x + y)} - \overset{x + y}{\frac{y}{x - y}}] : \frac{x^{2} - y^{2} + 4 y^{2} - x^{2}}{x + y}$ = $\frac{x y - y (x + y)}{(x - y) (x + y)} \cdot \frac{x + y}{3 y^{2}}$ = $\frac{- \overset{1}{y^{2}} \cdot \overset{1}{(x + y)}}{(x - y) \underset{1}{(x + y)} \cdot 3 \underset{1}{y^{2}}}$ = $- \frac{1}{3 (x - y)}$ = $\frac{1}{3 (y - x)}$

Vali avaldise teisendamiseks võimalikult otstarbekas tee!

Näide 6

$(\frac{a - 1}{a^{2} + 2 a - 3} + \frac{a}{3 a + 9}) \cdot (a + \frac{3 a - 6}{a - 2})$ = $[\frac{\overset{1}{a - 1}}{\underset{1}{(a - 1)} (a + 3)} + \frac{a}{3 (a + 3)}] \cdot [a + \frac{3 \overset{1}{(a - 2)}}{\underset{1}{a - 2}}]$ = $[\overset{3}{\frac{1}{a + 3}} + \frac{a}{3 (a + 3)}] \cdot (a + 3)$ = $\frac{(3 + a) \overset{1}{(a + 3)}}{3 \underset{1}{(a + 3)}}$ = $\frac{a + 3}{3}$

Näide 7

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 1)$ = $(x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} - (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{x + 1} + (x^{2} - 1) \cdot 1$ = $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} - \frac{x^{2} - 1}{x + 1} + x^{2} - 1$ = $x + 1 - (x - 1) + x^{2} - 1$ = $x^{2} + 1$

Lisää aiheesta

Ülesanded A

$(\frac{2 a}{3} + \frac{4}{b}) \cdot \frac{5 b}{4 a}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{3 u}{4 v} - \frac{5 u}{12 v}) : \frac{8 u^{2}}{3 v}$ = $\frac{}{}$

$(2 - \frac{4}{5 a}) : \frac{4}{5 a^{2}}$ = $\frac{}{}$

$(4 + \frac{2}{7 x}) : \frac{2}{35 x y}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a}{4 b} + \frac{1}{4}) \cdot 2 (a - b)$ = $\frac{}{}$

$x (x - y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{y}{6 x} + \frac{3 y}{2 x}) \cdot \frac{3 x}{4 y}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} + 2}{a b} \cdot (\frac{5 a}{6 b} - \frac{a}{3 b})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{m^{2}}{5 n^{2}} - \frac{2 m}{15 n}) : \frac{3 m^{2} - 2 m n}{4 n^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 a}{3 b^{2}} : (\frac{2 a}{3 b} - \frac{a}{6 b})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{b - a}{a b}$ = $\frac{}{}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x y} : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x}{x + 1} + 1) \cdot \frac{1 + x}{2 x + 1}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{4 a}{2 - a} - 2) : \frac{a + 2}{a - 2}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot (x + \frac{x}{2 - x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{5 a^{2}}{1 - a^{2}} : (1 - \frac{1}{1 - a})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}) \cdot (a^{2} - 1)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a - 3}{a + 3} + \frac{a + 3}{a - 3}) \cdot (a^{2} - 9)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{2 m + 1}{2 m - 1} - \frac{2 m - 1}{2 m + 1}) : \frac{4 m}{10 m - 5}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m + 3}{m^{2} + 9} \cdot (\frac{m + 3}{m - 3} + \frac{m - 3}{m + 3})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{6 x + 1}{x^{2} - 6 x} + \frac{6 x - 1}{x^{2} + 6 x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{5 x + y}{x^{2} - 5 x y} + \frac{5 x - y}{x^{2} + 5 x y}) : \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - 25 y^{2}}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{4 x + y}{16 x^{2} - y^{2}} - \frac{2 x}{y - 4 x}) : (4 x + 2)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a - 2 b}{a^{2} - 4 b^{2}} + \frac{2 a}{2 b + a}) (2 b + a)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x - 3}{x^{2} - x - 6} + \frac{x^{2} - x - 6}{x + 2}) : (x^{2} - x - 5)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a - 3} + \frac{a^{2} - 9}{a + 3}) : \frac{a^{2} - 6 a + 10}{a - 3}$ = $\frac{}{}$

$(x^{2} - 1) (\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x + 1})$ =

$(a^{2} - b^{2}) (\frac{1}{a + b} + \frac{a + b - 1}{a^{2} - b^{2}})$ =

$\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$ = $\frac{}{}$

$\frac{1 - 2 m}{2 m + 1} + \frac{m^{2} + 3 m}{4 m^{2} - 1} : \frac{3 + m}{4 m + 2}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}) : \frac{4 x y}{y^{2} - x^{x}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(x + 2 y)}^{2}}{4 y^{2}} \cdot (\frac{x - 2 y}{x^{2} + 2 x y} - \frac{x - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + a^{2}}{x^{2} - a^{2}} : (\frac{x + a}{a} - \frac{x - a}{x})$ = $\frac{}{}$

$(x + 1 - \frac{1}{1 - x}) : \frac{x}{1 - x}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2 a b}) : \frac{a b}{b^{2} - a^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{b}{b^{2} - 4 a^{2}} : (\frac{2 a}{2 a + b} - \frac{4 a^{2}}{4 a^{2} + 4 a b + b^{2}})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x - 3}{x^{2} - x - 6} + \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}) \cdot \frac{x - 3}{4 x^{2} - 1}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}) : \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{}{}$

Millise tulemuseni alati jõuad?
Tõesta saadud oletus!
Millistel lisatingimustel osutub saadud võrdus samasuseks?

$(\frac{1}{3} - \frac{a + 3}{3 a}) \cdot (a - 1)$ = $\frac{}{}$

Kui a = 0,5, siis avaldise väärtus on .

$(\frac{a - 1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1}) \cdot \frac{2 a - a^{2} - 1}{4 a}$ = $\frac{}{}$

Kui a = 1,5, siis avaldise väärtus on .

$(\frac{x - 4}{x + 1} - \frac{x - 5}{x^{2} - 1}) : \frac{x - 3}{2 x^{2} - 2}$ =

Kui x = –2,5, siis avaldise väärtus on

Auto läbis esimesed a kilomeetrit sellest kiirusega $v \frac{km}{h}$ , ülejäänud teeosa aga 20% suurema kiirusega. Leia lihtsustatud kujul valem kogu sõiduks kuluva aja arvutamiseks.

Arvuta see aeg, kui linnadevaheline kaugus on 180 km ja auto kiirus esimesel teeosal, mille pikkus oli 60 km, oli $75 \frac{km}{h}$ .

Vastus. Aega kulub siis umbes h.

Leia valem, mille abil on võimalik arvutada sellise maa-ala pindala, kust kits saab süüa. Lihtsusta saadud valem.
Millise b lubatud väärtuse korral on see maatükk suurim? Leia valem ka selle maatüki pindala arvutamiseks.

Kui suurelt maa-alalt saab kits maksimaalselt süüa, kui juurviljaaia külg on 4 m?

Vastus. Kits saab maksimaalselt süüa π m² suuruselt maa-alalt.

Lisää aiheesta

Ülesanded B

$(\frac{1}{b} + \frac{2}{a - b}) (a - \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b})$ =

$(x + y - \frac{2 x y}{x + y}) : (\frac{x - y}{x + y} + \frac{y}{x})$ =

$(1 + a - \frac{1}{1 - a}) : (a - \frac{a^{2}}{a - 1})$ =

$(2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}) : (2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{y - x}) : (x - y + \frac{4 y^{2} - x^{2}}{x + y})$ = $\frac{}{}$

$(2 a + b - \frac{3 a^{2}}{2 a - b}) (\frac{2}{a + b} + \frac{b}{a^{2} - b^{2}})$ = $\frac{}{}$

Tehete järjekord!

$(\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}}) : (\frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}}) : \frac{1}{x - y} - \frac{y}{y - x}$ = $\frac{}{}$

$\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}} : (\frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}} : \frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x}{6 - 3 x} + \frac{8 x}{x^{2} - 4}) : \frac{x + 4}{x - 2}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} (x - 2)}{4 x^{2} + 16 x + 16} \cdot (\frac{x}{2 x - 4} + \frac{4 - x^{2}}{2 x^{2} - 8} + \frac{2}{x^{2} - 2 x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x}{x - b} - \frac{a b}{x - a} \cdot (\frac{x + a}{a x - a b} + \frac{x + b}{b^{2} - b x} + \frac{x}{a b})$ =

$(\frac{m - n}{m n} - \frac{3 m + n}{m n - m^{2}} + \frac{3 n + m}{m n - n^{2}}) : \frac{2 m + 2 n}{m n} + \frac{2 m}{n - m}$ =

$(\frac{a + b}{2 a - 2 b} - \frac{a - b}{2 a + 2 b} - \frac{2 b^{2}}{b^{2} - a^{2}}) (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{b^{2} + 9}{27 - 3 b^{2}} + \frac{b}{3 b + 9} - \frac{3}{b^{2} - 3 b}) : \frac{{(3 b + 9)}^{2}}{3 b^{2} - b^{3}}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{3 x - 1}{3 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{x + 3}{3 x^{2} + 8 x - 3}) \cdot (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2 x} - 2)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{7}{2 x^{2} - 5 x - 3} - \frac{10}{3 x^{2} - 8 x - 3}) \cdot (x + \frac{1}{6 x + 5})$ = $\frac{}{}$

$\frac{b}{a - b} - \frac{a^{3} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \cdot (\frac{a}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}})$ =

$(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x}) : \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x} + \frac{x}{6 - x}$ =

456.1 Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Tõesta vihikus kirjalikult samasus.

$\frac{2 a - b}{a b} - \frac{1}{a + b} (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = \frac{1}{b}$

456.2 Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Tõesta vihikus kirjalikult samasus.

$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a^{2} b}{a^{2} + b^{2}} \cdot (\frac{a}{a b + b^{2}} + \frac{b}{a^{2} + a b}) = \frac{a b}{a^{2} - b^{2}}$

456.3 Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Tõesta vihikus kirjalikult samasus.

$\frac{x}{x + y} - \frac{y}{y - x} - \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}} = (x - \frac{4 x y}{x + y} + y) : (x - y)$

Linnade vahemaa on 255 km. Samaaegselt alustavad kummastki linnast teise sõitu kaks autot, üks keskmise kiirusega $80 \frac{km}{h}$ , teine $90 \frac{km}{h}$ . Millise aja pärast autod kohtuvad?

Vastus. Autod kohtuvad h pärast.

Leia valem eelmise ülesande lahendamiseks, kui linnade vahemaa on s km ning autode kiirused vastavalt $v_{1} \frac{km}{h}$ ja $v_{2} \frac{km}{h}$ _.

Trapetsi alused a ja b ning kõrgus h meetrites avalduvad kujul $a = \frac{x + y}{x - y}$ ; $b = \frac{x - y}{x + y}$ ja $h = \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ $(x > y > 0)$ . Avalda trapetsi pindala ja lihtsusta saadud avaldis.