Теорема косинусов

Курс "Тригонометрия"

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то этими данными треугольник определяется однозначно, т. е. его можно построить. Однако с помощью теоремы синусов решить треугольник при этих данных невозможно.

В этом случае пользуются теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения тех же сторон на косинус угла между ними, т. е.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α,

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β,

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ.

Рис. 2.50

Эту теорему мы также примем без доказательства.

Пример 1.

Решим треугольник, если b = 4 cм, c = 15 cм и α = 57°.

  1. Найдем сторону a:
    a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{\alpha} = 4^2+15^2-2\cdot4\cdot15\cdot\cos57° ≈ 175,6433, откуда a ≈ 13,2530 (см).
  2. Для нахождения угла β применим теорему синусов
    ​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \frac{13,253}{\sin57\degree}=\frac{4}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \sin\mathrm{\beta}=\frac{4\cdot\sin57\degree}{13,253}\approx0,2531, откуда β ≈ 14°40';
  3. Далее получим: \mathrm{\gamma}=180°-(57°+14°40')=108°20'.

​Ответ: a ≈ 13,3 см, β ≈ 14°40', γ ≈ 108°20'.

Если при решении треугольника требуется найти два угла, как это было в предыдущем примере, то сначала нужно найти меньший угол (в примере это был угол β, так как он соответствует меньшей стороне), а затем второй угол как разность между 180° и суммой двух уже известных углов (в примере это был угол γ), поскольку этот угол может быть тупым, и таким способом его легче всего найти. Этим способом рекомендуется пользоваться и в том случае, когда даны три стороны и нужно найти все три угла.

Пример 2.

Решим треугольник, если даны его стороны a = 8 см, b = 10 см, c = 16 см.

Учитывая сделанные выше замечания, найдем сначала меньшие углы, т. е. углы α и β.

  1. Из соотношения a2 = b2 + c2 – 2bc cos α получим, что 2bc cos α = b2 + c2 – a2, откуда
    \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{10^2+16^2-8^2}{2\cdot10\cdot16}=0,9125 ⇒ \mathrm{\alpha}\approx24°9'.​
  2. Угол β найдем по теореме синусов:
    ​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \sin\mathrm{\beta}=\frac{10\cdot\sin24°9'}{8}\approx\frac{10\cdot0,4091}{8}\approx0,5114 ⇒ ​\mathrm{\beta}\approx30°45'​.
  3. \mathrm{\gamma}=180°-(24°9'+30°45')=125°6'.

Ответ: α ≈ 24°9', β ≈ 30°45', γ ≈ 125°6'.

c = 18, b = 10, α = 60°

Ответ: a = ; β = ; γ = .

a = 2, b = 3, γ = 14°30'

Ответ: c = ; β = ; α = .

a = 3, c = 5, β = 53°8'

Ответ: b = ; α = ; γ = .

a = 10, b = 20, γ = 98°6'

Ответ: c = ; α = ; β = .

a = 13, b = 20, c = 15

Ответ: α = ; β = ; γ = .

a = 4, b = 5, c = 3

Ответ: α = ; β = ; γ = .

a = 12, b = 29, c = 16

Ответ:.

a = 0,24, b = 1,2, c = 0,98

Ответ: α = ; β = ; γ = .

Ответ: диагонали параллелограмма равны  см и см.

Рис. 2.52

Ответ: расстояние от поселка А до автобусной остановки равно  м.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot