Теорема синусов

Курс "Тригонометрия"

Как мы знаем, решить треугольник – это значит найти все его элементы (стороны и углы), если известны некоторые из них.

Поскольку всякий треугольник можно разбить на два прямоугольных, то решение любого треугольника можно свести к решению прямоугольных треугольников. Однако такой способ решения часто бывает громоздким.

Рис. 2.50

Оказывается, что можно решать произвольные треугольники проще. Для этого нужно лишь знать некоторые соотношения между элементами треугольника. Одним из таких соотношений является теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т. е.

asin α=bsin β=csin γ.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример 1.

Решим треугольник, зная, что a = 20 см, α = 30° и β = 78°.

  1. По теореме синусов найдем сторону b:

​\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{b}{\sin\mathrm{\beta}} ⇒ \frac{20}{\sin30\degree}=\frac{b}{\sin78\degree} ⇒ b=\frac{20\cdot\sin78\degree}{\sin30\degree}\approx\frac{20\cdot0,9781}{0,5}\approx39,1\ \left(см\right).

  1. Неизвестный угол γ=180°-(α+β)=180°-(30°+78°)=72°.
  2. По тореме синусов найдем сторону c:

\frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{c}{\sin\mathrm{\gamma}} ⇒ \frac{20}{\sin30\degree}=\frac{c}{\sin72\degree} ⇒ c=\frac{20\cdot\sin72\degree}{\sin30\degree}\approx\frac{20\cdot0,9511}{0,5}\approx38,0\ \left(\mathrm{см}\right);

Ответ: b ≈ 39,1 см; c ≈ 38,0 см; γ = 72°.

Пример 2.

Чтобы найти ширину водоема между точками A и B (рис. 2.51), на берегу выбирается некоторый отрезок СВ, называемый базой. Пусть, например, CВ = 100 м. Затем измеряют углы γ и β. Вычислим ширину AB = x водоема, если γ = 81° и β = 89°.

  1. α =180° – (β + γ) = 180° – (89° + 81°) = 10°;
  2. \frac{a}{\sin\mathrm{\alpha}}=\frac{x}{\sin\mathrm{\gamma}} ⇒ \frac{100}{\sin10\degree}=\frac{x}{\sin81\degree} ⇒ x=\frac{100\cdot\sin81\degree}{\sin10\degree} = \frac{100\cdot0,9877}{0,1736}\approx568,95\approx570\ \mathrm{\left(см\right)}.
Рис. 2.51

Ответ: ширина водоема 570 м.

a = 87, α = 65°, β = 75°

Ответ: γ = ; b = ; c = .

c = 30, α = 51°30', γ = 65°30'

Ответ: β = ; a = ; b = .

b = 120, α = 10°, β = 126°

Ответ: γ = ; a = ; c = .

a = 80, b = 65, α = 40°

Ответ: c = ; β = ; γ = .

a = 9, b = 9, β = 37°18'

Ответ: α = ; γ = ; c = .

b = 60, α = 70°24', γ = 63°

Ответ: β = ; a = ; c = .

c = 100, α = 27°, β = 83°12'

Ответ: γ = ; a = ; b = .

Ответ: соответствующие углы есть α = , β =  и γ = , а остальные стороны a =  см и b =  см.

Seotud sisu
Muud tegevused