Juhuslik suurus

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Olgu tegemist katsega, mida saab korrata kui tahes palju kordi. See­juures tulgu iga katse korral esile mingi arv n erineva võimaliku arvu seast. Näiteks täringu viskamisel on võimalikeks tulemusteks silmade arvud 1 kuni 6.

Vaatleme võimalikke katse­tulemusi x1, x2, …, xn muutuja X väärtustena. Et juhus määrab, milline väärtus parajasti esile tuleb, nimetatakse muutujat X juhuslikuks suuruseks.

Juhusliku suuruse iga võimalik väärtus on oma­korda vaadeldav juhusliku sündmusena. Juhuslikuks sündmuseks võivad aga olla ka juhusliku suuruse X väärtused, mis rahuldavad tingimust a < x < b või x < c (võib kirjutada ka a < X < b või vastavalt X < c) vms.

Näide 1.

Olgu katseks täringu­vise. Katse võimalikeks tulemusteks on 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Need on juhusliku suuruse X (saadud silmade arv) väärtused: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6, millest igat võib vaadelda juhusliku sündmusena: E1 ühe silma tulek, E2 kahe silma tulek jne. Nagu varasemast teame, on need sündmused paari­kaupa välistavad ja võrd­võimalikud.

Loeme sündmuseks A silmade arvu X ≤ 4 tuleku täringut veeretades ja leiame vastava tõenäosuse. Et soodsaid võimalusi sündmuse A jaoks on 4 ja kõiki võimalusi 6, siis P(X ≤ 4) = 4 : 6 ≈ 0,67.

Näide 2.

Olgu juhuslikuks suuruseks X kahe täringu korraga viskamisel tulev silmade summa. Suuruse X võimalikud väärtused on siis arvud 2, 3, 4, …, 12. Vastavad sündmused on küll paari­kaupa välistavad, aga ei ole võrd­võimalikud, sest näiteks 2 silma saab tulla summana vaid ühel viisil (1 + 1), aga 4 silma summana kolmel viisil (1 + 3, 2 + 2 või 3 + 1).

Juhusliku suuruse X iga väärtuse xi korral on võimalik leida selle esinemise tõenäosus pi, sest väärtuse xi tulek on teatud juhuslik sündmus. Tulemused võime esitada arvu­paaridena (xi; pi), tabelina, graafikuna ja ka valemina. Need on aga funktsiooni võimalikud esitus­viisid. See­tõttu öeldaksegi, et vastavuse juhusliku suuruse X võimalike väärtuste ja tõenäosuste vahel korraldab tõenäosus­funktsioon. Definitsioonina:

juhusliku suuruse X tõenäosus­funktsiooniks nimetatakse ees­kirja, mis seab juhusliku suuruse X igale võimalikule väärtusele xi vastavusse selle väärtuse esile­tuleku tõenäosuse pi ehk P(xi).

Tõenäosus­funktsioon näitab, kuidas jaguneb kõigi võimaluste tõenäosuste summa 1 erinevate võimaluste xi vahel. Näiteks ühe täringu viskamisel on esitatud tõenäosus­funktsioon järgneva tabeli kahe esimese reaga. Funktsioonina on see kujul P\left(X\right)=\frac{1}{6}, mille graafik koosneb vaid üksikutest värvilistest punktidest joonisel 1.20.

Joon. 1.20

Kui juhusliku suuruse tõenäosus­funktsioon on leitud, öeldakse ka, et leitud on juhusliku suuruse jaotus.

Joon. 1.21

Juhusliku suuruse X jaotus esitatakse sageli ka funktsiooniga P(X ≤ x), mida nimetatakse tõenäosuse jaotus­funktsiooniks. See seab suuruse X igale väärtusele xi vastavusse tõenäosuse P(X ≤ xi), s.t tõenäosuse, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem kui xi või on sellega võrdne.

Näiteks täringu viskamisel on esitatud jaotus­funktsioon P(x ≤ xi) eelneva tabeli esimese ja kolmanda reana. Vastav graafik on joonisel 1.21.

Näite 2 korral visati korraga kahte täringut. Juhusliku suuruse tõenäosus­funktsioon P(x) on esitatud järgneva tabeli kahe esimese reaga ja histogrammiga joonisel 1.22. Jaotus­funktsiooni P(X ≤ x) esitab järgneva tabeli esimene ja kolmas rida.

Joon. 1.22

Juhusliku suuruse tõenäosus­funktsiooni põhi­omadus:

p1 + p2 + … + pn = 1,

Näide 3.

Leiame tõenäosuse, et täringu viskamisel tuleb kas 1, 4 või 6 silma:

P (kas 1 või 4 või 6) = P(1) + P(4) + P(6) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Näide 4.

Leiame tõenäosuse, et visates korraga kaht täringut tuleb 1) mitte rohkem kui 5 silma, 2) mitte vähem kui 5 silma, kuid mitte rohkem kui 8 silma.

Leiame vastuse nii tõenäosus­funktsiooni P(x) kui ka jaotus­funktsiooni P(X ≤ x) tabeli abil:

  1. P(kas 2, 3, 4 või 5 silma) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} ≈ 0,28 või P(X ≤ 5) = \frac{10}{36} ≈ 0,28.
  2. P(5 ≤ x ≤ 8) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = \frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} ≈ 0,56 või P(5 ≤ X ≤ 8) = P(4 < X ≤ 8) = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 4) = \frac{26}{36}-\frac{6}{36} = \frac{20}{36} ≈ 0,56.

Peatükkides 3.1–3.3 vaatlesime statistilise kogumi uurimist mingi arv­tunnuse seisu­kohalt. Seal esinenud arv­tunnus on sisuliselt juhuslik suurus, mis on määratud jaotus­tabeliga, kus iga väärtuse tõenäosuseks on tema suhteline sagedus. Tunnuse (kui juhusliku suuruse) jaotus saadi katsete ja vaatluste teel, s.t empiiriliselt; käes­olevas peatükis vaadeldud juhuslike suuruste (näide 1 ja 2) jaotuse saime teoreetilise kaalutluse abil.

Juhuslikke suurusi (ja nende jaotusi) võib defineerida teoreetiliselt ning vaadelda neid siis kui mudeleid teatud empiirilistele jaotustele. Nii võib näidete 1 ja 2 andmetel esitatud juhuslike suuruste jaotusi vaadelda kui teoreetilisi mudeleid vastavatele täringu­visete tegelikele katsetele.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

Joon. 1.23

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(X)

P(X)

7 silma?

paarisarv silmi?

algarv silmi?

7 kuni 10 silma?

vähemalt 9 silma?

4-ga jaguv silmade arv?

Vastus. Tõenäosus võita on . Tõenäosus võita ühe piletiga 1 euro või rohkem on . Et loterii ei töötaks kahjumiga, peaks üks loterii­pilet maksma vähemalt  senti.

Vastus. 1) ; 2) .

Lisää aiheesta
Muut toiminnot