Juhusliku suuruse karakteristikud

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Juhusliku suuruse X jaotust, mis on esitatud tabeliga

iseloomustatakse mitmete arv­karakteristikutega. Need on 1) juhusliku suuruse väärtuste paiknemist arv­teljel iseloomustav kesk­väärtus ja 2) väärtuste hajuvust kesk­väärtuse suhtes ise­loomustavad näitajad dispersioon ning standard­hälve.

Juhusliku suuruse X kesk­väärtuseks nimetatakse arvu

EX = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.

Näide 1.

Täringu viskamisel tuleva silmade arvu jaotus on tabelis.

Vastav kesk­väärtus

EX=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2+\frac{1}{6}\cdot3+\frac{1}{6}\cdot4+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot6 = 21 : 6 = 3,5.

Kui ühe viskega tuleb keskmiselt 3,5 silma, siis 10 viskega tuleb keskmiselt 35 silma.

Juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse kesk­väärtuse suhtes arvutatud hälvete ruutude kesk­väärtust DX = E(X – EX)2.

mis pikemalt välja­kirjutatuna on

DX = p1(x1 – EX)2 + p2(x2 – EX)2 + … + pn(xn – EX)2.

Näide 2.

Täringu korduval viskamisel tuleva silmade arvu X dispersioon:

DX=\frac{1}{6}\cdot\left(1-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(2-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(3-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(4-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(5-3,5\right)^2+\frac{1}{6}\cdot\left(6-3,5\right)^2 = 17,5 : 6 ≈ 2,917.

Juhusliku suuruse X standard­hälbeks nimetatakse ruut­juurt dispersioonist,

σ=DX.

Näide 3.

Täringu viskamisel (näide 2) tuleva silmade arvu X standard­hälve

σ = \sqrt{DX} = \sqrt{2,917} ≈ 1,708.

Dispersiooni ja standard­hälvet saab arvutada ka valemitega

DX = EX2 – (EX)2.

ja

σ=EX2-(EX)2.

Siin EX2 tähendab juhusliku suuruse X väärtuste ruutude kesk­väärtust ja (EX)2 kesk­väärtuse ruutu.

Kui juhusliku suuruse kesk­väärtus EX ja standard­hälve σ on leitud, antakse kesk­väärtus tavaliselt kujul EX = EX ± σ.

Näide 4.

Täringu silmade arvu dispersiooni (näide 2) saab arvutada ka nii:

DX=1^2\cdot\frac{1}{6}+2^2\cdot\frac{1}{6}+3^2\cdot\frac{1}{6}+4^2\cdot\frac{1}{6}+5^2\cdot\frac{1}{6}+6^2\cdot\frac{1}{6}-3,5^2 = \frac{91}{6}-3,5^2 ≈ 2,917

Tulemus on sama kui näites 2. Järelikult ka σ ≈ 1,708.

Kuna näite 1 andmetel oleme saanud, et EX = 3,5 ja σ ≈ 1,71, siis täringu veeretamisel on silmade arvu kesk­väärtus EX = 3,5 ± 1,71.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Vastus. EX = ; σ = .

Vastus. EX = ; σ = .

Vastus. Keskmine võidu suurus ühe loterii­piletiga oli  € ja standard­hälve oli .

Vastus. Mõlema poisi keskmine võidu­summa on ja standard­hälve on .

Seotud sisu
Muud tegevused