Sündmuse klassikalise tõenäosuse definitsioon eeldab sündmuse kõigi võimaluste võrdvõimalikkust (vt art. 1.4). Seda ei ole aga sageli võimalik kindlaks teha või siis kõik üksikjuhud ei olegi võrdvõimalikud.
Olgu poeglapse sünd sündmus A. Kui eeldada, et sündmuse A jaoks on kõiki võimalusi kaks – sünnib kas poiss või sünnib tüdruk – pole selge, kas need võimalused on võrdvõimalikud. Järelikult ei või poeglapse sündimise tõenäosust arvutada klassikalise tõenäosuse definitsiooni järgi.
Kuidas aga sellisel juhul sündmuse tõenäosust leida?
Olgu vaatluse all sündmus A, mis iga katse korral (ka vaatlus on katse) kas toimub või ei toimu. Eeldame, et katseid saab korrata kui tahes palju kordi järjest. Katse võimalikud erinevad tulemused ei pea seejuures olema (aga võivad olla) võrdvõimalikud. Kui sündmus A esines n katse korral (ühe katseseeria korral) m korda, siis arvu m nimetatakse sündmuse A sageduseks (täpsemalt absoluutseks sageduseks) ning suhet
sündmuse A suhteliseks sageduseks (ka relatiivseks sageduseks). Suhtelist sagedust väljendatakse sageli protsentides.
Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A suhtelist sagedust , kui katsete arv n on küllalt suur.
Definitsiooni lõpp kui katsete arv n on küllalt suur tundub esialgu olevat ebamäärane ja võib-olla isegi ebaoluline. Järgnevad näited peaksid meid aga veenma, et katsete arv n peab olema vahel tõesti suur, saamaks tuntud tõenäosuse küllalt täpselt. Teiseks on erinevate nähtuste korral vajalik teha väga erinev arv katseid, et saada vajaliku täpsusega tulemus.
Näide 1.
Inglise matemaatik Karl Pearson viskas münti 12 000 korda ja vapp esines 6019 korda. Seejärel viskas ta münti veel 12 000 korda ning vapp esines nüüd 5993 korda. Esimese katseseeria korral oli vapi esinemise suhteline sagedus 0,5016, teise seeria korral aga 0,4994. Neid arve võib definitsiooni kohaselt võtta vapi esinemise statistiliseks tõenäosuseks, kuid Pearsoni poolt tehtud katseid võib vaadelda ka ühe katseseeriana, kus n = 24 000 ja vapi esinemise sagedus on 12 012. Nüüd on vapi tuleku (kui juhusliku sündmuse) statistiline tõenäosus 0,5005.
Näitest selgub, et sündmuse statistiline tõenäosus on sündmuse klassikalise tõenäosuse (mündi viskamisel on vapi tuleku tõenäosus 0,5) hinnanguks. Võib teha ka oletuse, et mida suurem on katsete arv, seda vähem erineb sündmuse suhteline sagedus klassikalisest tõenäosusest (12 000 katse järel oli erinevus 0,0016, 24 000 katse järel 0,0005). Selgub, et viimane väide nii resoluutsena siiski ei kehti. Osutub, et pikkade katseseeriate puhul ei erine sündmuse suhtelised sagedused klassikalisest tõenäosusest tõenäoliselt kuigi palju; teisiti öeldes:
mida rohkem tehakse katseid, seda tõenäosem on, et sündmuse suhteline sagedus erineb sündmuse tõenäosusest p järjest vähem.
Öeldu väljendab tõenäosusteoorias tuntud suurte arvude seaduse mõtet.
Näide 2.
Leiame statistiliste andmete põhjal poeglapse sündimise tõenäosuse. Kasutame selleks Eesti kohta käivaid andmeid aastaist 1986–1994. Nimetatud ajavahemikul sündis Eestis 187 526 last, kellest 96 477 olid poisid. Seega oli poeglaste sündimise suhteline sagedus
Arvutades samadel Eesti kohta käivatel andmetel 100 vastsündinud tüdruku kohta tuleva poiste sünnijuhtude arvu, saame 105,96 (tõenäosuse 0,514 järgi 105,76). Need tulemused ühtivad juba 17. sajandil fikseeritud seaduspärasusega, et iga 100 tüdruku sünni kohta tuleb 105–106 poisi sündi.
Sündmuse statistilise tõenäosuse korral kehtivad samad omadused, mis sündmuse klassikalise tõenäosuse korral:
0\le\frac{m}{n}\le1 , sest0\le m\le n ,P\left(U\right)=\frac{n}{n}=1 ,P\left(V\right)=\frac{0}{n}=0 ,P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1 , sest\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}=1 .
Järelikult ei ole edaspidi põhjust vahet teha, kuidas tõenäosus arvutati. Tõenäosust, mis on korrektselt leitud, tuleb kõikjal kasutada ühtviisi.
Ülesanded A
Ülesanne 140. Seemete idanevus
Vastus. Seemete idanemisprotsent on
Ülesanne 141. Tähe a, s, k või i esinemine tekstis
Ülesanne 142. Üleelamise tabel
Arvutage tabeli andmetel tõenäosus, et vastsündinud poiss elab vähemalt 50-aastaseks.
Vastus. Tõenäosus, et vastsündinud poiss elab vähemalt 50-aastaseks, on
Arvutage tabeli andmetel tõenäosus, et 15-aastane neiu elab vähemalt 70-aastaseks.
Vastus. Tõenäosus, et 15-aastane neiu elab vähemalt 70-aastaseks, on
Arvutage tabeli andmetel tõenäosus, et 40-aastane naine elab vähemalt 80-aastaseks.
Vastus. Tõenäosus, et 40-aastane naine elab vähemalt 80-aastaseks, on
Arvutage tabeli andmetel tõenäosus, et 3-aastane vend ja vastsündinud õde elavad mõlemad vähemalt 60-aastaseks.
Vastus. Tõenäosus, et 3-aastane vend ja vastsündinud õde elavad mõlemad vähemalt 60-aastaseks, on
Arvutage tabeli andmetel tõenäosus, et 85-aastane naine ei ela 90-aastaseks.
Vastus. Tõenäosus, et 85-aastane naine ei ela 90-aastaseks, on
Ülesanne 143. Üleelamise tabel
Leidke tabeli abil, millise vanuseni elamise tõenäosus on 0,5
- meestel;
- naistel.
Ülesanne 144. Kvaliteetsed elektripirnid
Vastus. Keskmiselt on kvaliteetsed pirni.
Ülesanne 145. Eriti vastupidav toode
Vastus. Tõenäosus selleks, et selles ettevõttes parajasti valmiv toode on eriti vastupidav, on
Ülesanne 146. Detaili valmistamine
Vastus. Tõenäosus, et valmiv detail ei ole praak, on
Ülesanded B
Ülesanne 147. Valgusfoori tsükkel
Ülesanne 148. Kuuli võtmine urnist
Nii toimiti palju kordi ja leiti, et rohelise kuuli saamise statistiline tõenäosus on
Vastus. Urnis on tõenäoliselt rohelist, valget, sinist, punast ja musta kuuli. Arvatavasti on urnis erinevat värvi kuule.
- Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ