Geomeetriline tõenäosus

Näide 1.

Külma vee toru on 200 m ulatuses maa sees. Torusse tekkis auk. Võimalus augu tekkimiseks on kogu toru ulatuses sama. Kui suur on tõenäosus, et auk on tekkinud maan­tee all (sündmus A), mille laius on 15 m?

Et toru pikkus on pidev suurus ja augu tekkimise võimalikke kohti (punkte torul) on lõpmatult palju (samuti on soodsaid punkte lõpmatult palju), siis klassikalise tõenäosuse definitsiooni rakendada ei saa. Arutleme piltlikult, tuginedes ette­kujutlusele lõplikest suurustest: tundub loomulik, et toru pikkus on võrdeline „punktide arvuga” (lõpmatus!) torul. Kui nii, siis saame eba­määrase mõiste „punktide arv” asendada toru pikkusega ning otsitav tõenäosus peaks olema 15 m : 200 m = 0,075. Nii ta tegelikult ka on, sest geomeetriline tõenäosus defineeritakse lõpliku lõigu L (lõigu all mõtleme ka selle pikkust) korral kui sündmuse jaoks „soodsa pikkuse” l ja kogu pikkuse L jagatis.

Näide 2.

Kui suur on tõenäosus tabada joonisel 1.13 kujutatud ruudu­kujulise märk­laua värvitud osa?

Joon. 1.13

Olgu märk­laua külg a. Siis värvimata kolm­nurkade kaatetid on 0,5a ning nende kolm­nurkade pindalade summa on

4\cdot\frac{0,5\cdot0,5a}{2}=\frac{a^2}{2}.

Värvitud osa pindala on a² – 0,5a² = 0,5a² ja otsitav tõenäosus p = 0,5a² : a² = 0,5.

Näide 3.

Poiss viskab palli diameetriga 6 cm läbi rist­küliku­kujulise ava (joon. 1.14) mõõtmetega 20 × 15 cm. Kui suur on tõenäosus, et pall läbib ava n-ö puhtalt?

Joon. 1.14

Loeme ava puhtaks läbimiseks ka seda, kui pall puudutab ava serva. Seega, kui palli kesk­punkt (joonisel palli suur­ringi kesk­punkt) on katkendliku joonega märgitud rist­külikus, mille mõõtmed on 20 – 6 = 14 cm ja 15 – 6 = 9 cm, siis pall läbib ava. Järelikult p=\frac{14\cdot9}{20\cdot15}=0,42.

Näide 4.

Iga kahe linna­liini­bussi ajaline vahe on 12 minutit. Buss, mis tuleb lõpp-peatusse, seisab seal 3 minutit ja sõidab siis liinile. Bussile mineja jõuab lõpp-peatusse juhuslikul ajal. Kui suur on tõenäosus, et ta jõuab lõpp-peatusse ajal, mil buss seal seisab?

Aja „punktide hulki” 3 min ja 12 min saab kujutada sirgel lõikudena, näiteks 3 cm ja 12 cm. Tuginedes nüüd geomeetrilise tõenäosuse definitsioonile, saame, et p = 3 : 12 = 0,25.

Näide 5.

Maapinna kõrguselt pehkinud lipu­varras (6 m) seisab püsti muru­platsil punktis A (joon. 1.15). Lipu­vardast 2 m kaugusel on ring­joone kaare kujuline lille­peenar pikkusega 4 m. Leiame tõenäosuse, et lipu­varras kukub lille­peenrale, kui ta murdub maa­pinnalt.

Joon. 1.15

Eeldame, et lipu­varras võib kukkuda võrdse võimalikkusega igas suunas. Kui ta kukub nurka α, on tõenäosuse seisu­kohalt tegemist soodsa juhuga.

Leiame nurga α. Ring­joone kaare pikkus on 4 m. Seega \frac{2\pi\cdot2\cdot\mathrm{\alpha}}{360\degree}=4, millest \mathrm{\alpha}=\frac{360\degree}{\pi} ning tõenäosus p=\frac{360\degree}{\pi}\ :\ 360\degree=\frac{1}{\pi}\approx0,32.