Funktsiooni graafiku puutuja

Ring­joone puutujaks nimetati sirget, millel on ring­joonega ainult üks ühine punkt (joonis 4.11). Iga joone puutujat nii defineerida ei saa, sest puutujal kui sirgel võib joonega olla rohkem kui üks ühine punkt (joonisel 4.12 on puutujal s peale puute­punkti P veel graafikuga ühised punktid A ja B).

Puutuja täpsemal defineerimisel vaatleme lõikajat (joonis 4.12, sirge s₁), mille üheks lõike­punktiks joonega on punkt P ja teiseks lõike­punktiks punkt P₁. Laseme nüüd lõikaja teist lõike­punkti (P₁) mööda joont läheneda tõkestamatult punktile P (lõikaja s₁ paar vahe­pealset asendit on sirged s₂ ja s₃). Piir­sirge (joonisel sirge s), millele lõikaja hakkab lähenema, on joone puutuja punktis P. Kuidas puutuja liikumisel kujuneb, on hea jälgida arvutil näiteks programmiga GeoGebra. Punkti P nimetatakse puute­punktiks.

Kokku­võetult:

Lastes punktil Q mööda graafikut läheneda punktile P, läheneb sirge s₁ puutujale s. Samal ajal Δx\to0 ja nurk β läheneb nurgale α, s.t \mathrm{\beta}\to\mathrm{\alpha}. Kuid siis ka \tan\mathrm{\beta}\to\tan\mathrm{\alpha} ehk \frac{\Delta y}{\Delta x}\to\tan\mathrm{\alpha}. Et tan α on puutuja s kui sirge tõus, siis tähistame selle tähega k. Seega: kui Q\to P, siis Δx\to0 ja \frac{\Delta y}{\Delta x}\to k ehk sõnastatult

funktsiooni graafiku puutuja tõus k on suurus, millele läheneb funktsiooni muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhe, kui argumendi muut läheneb nullile.

Kasutades funktsiooni piir­väärtuse mõistet, on

$$ k=\tan \text{α}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$$.

Sõnastatult, funktsiooni graafiku puutuja tõus on võrdne funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piir­väärtusega, kui argumendi muut läheneb nullile.