Funktsioonide summa ja korrutise tuletis

Funktsiooni y = f (x) tuletise leidmisel definitsiooni järgi tuleb leida

funktsiooni muut Δy;
funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatis \frac{\Delta y}{\Delta x};
avaldis, millele läheneb \frac{\Delta y}{\Delta x}, kui Δx → 0, s.t

y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

Funktsioonide tuletiste leidmine ainult definitsioonist lähtudes on töömahukas. Seetõttu toimitakse nii, et leitakse sagedamini esinevate funktsioonide tuletised ja diferentseerimise üldreeglid, mis võimaldavad siis koos kasutades ka keerukamate funktsioonide tuletisi leida. Selle kava realiseerimisele järgnevalt asumegi.

1. KONSTANTSE FUNKTSIOONI TULETIS.

Konstantse funktsiooni y = c väärtused on argumendi x iga väärtuse korral võrdsed ühe ja sama arvuga c. Leiame tuletise:

Δy = f (x + Δx) – f (x) = c – c = 0;

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0; $y' = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 0 = 0$ .

Seega

c' = 0,
s.t konstandi tuletis on null.

Näide 1.

Kui y = 364,2, siis y' = 364,2' = 0;
kui y = –8, siis y' = (–8)' = 0;

kui y = π, siis y' = π' = 0;
kui \sin\frac{\pi}{7}, siis y'=\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)^'=0.

2. ARGUMENDI TULETIS.Vaatleme funktsiooni y = x.Rakendame tuletise definitsiooni:Δy = f (x + Δx) – f (x) = (x + Δx) – x = Δx;\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1;

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} 1 = 1

Seega,

x' = 1,
s.t argumendi tuletis on üks.

3. FUNKTSIOONIDE SUMMA TULETIS.

Olgu funktsioonidel y = f (x) ja y = g (x) tuletis olemas kohal x. Leiame summa f (x) + g (x) diferentseerimise reegli.

Vaatleme funktsiooni y = f (x) + g (x) ja rakendame sellele tuletise definitsiooni:

\Delta y = \left[f\left(x+\Delta x\right)+g\left(x+\Delta x\right)\right]-\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right] = \left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]+\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right];\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]+\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right]}{\Delta x} = \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}+\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}; $[f (x) + g (x)]'$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} + \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$ .

Et esimene liidetav on funktsiooni y = f (x) tuletis f '(x) ja teine liidetav funktsiooni y = g (x) tuletis g '(x), siis

[f (x) + g (x)]' = f '(x) + g '(x).

Sõnastatult:

kahe funktsiooni summa tuletis võrdub liidetavate funktsioonide tuletiste summaga.

Näide 2.

Leiame 1) funktsiooni y = x + 7 ja 2) funktsiooni y=\frac{x^2+1}{x} tuletise.

\left(x+7\right)^' = x'+7' = 1 + 0 = 1.
Et \left(\frac{1}{x}\right)^'=-\frac{1}{x^2}, siis \left(\frac{x^2+1}{x}\right)^' = \left(x+\frac{1}{x}\right)^' = x'+\left(\frac{1}{x}\right)^' = 1-\frac{1}{x^2}.

Funktsioonide summa diferentseerimise reeglit võib laiendada ka kolmele ja enamale liidetavale. Näiteks\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]^' = \left\{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]+h\left(x\right)\right\}^' = \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^'+h'\left(x\right) = f'\left(x\right)+g'\left(x\right)+h'\left(x\right).

4. FUNKTSIOONIDE KORRUTISE TULETIS.Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) kohal x diferentseeruvad. Tuletame korrutise f (x) · g (x) .Vaatleme funktsiooni y = f (x) · g (x) ja rakendame sellele tuletise definitsiooni. Funktsiooni muut\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right).Liidame võrduse paremale poolele ja ka lahutame võrduse paremast poolest korrutise g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right) ning teisendame avaldist järgmiselt:\Delta y = f\left(x+\Delta x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right)+g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) = \left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]\cdot g\left(x+\Delta x\right)+f\left(x\right)\cdot\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right].Suhte \frac{\Delta y}{\Delta x} kirjutame kujul\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\cdot g\left(x+\Delta x\right)+f\left(x\right)\cdot\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}.Nüüd

[f (x) \cdot g (x)]'

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

\lim_{Δ x \to 0} [\frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \cdot g (x + Δ x)] + \lim_{Δ x \to 0} [f (x) \cdot \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}]

\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \cdot \lim_{Δ x \to 0} g (x + Δ x) + \lim_{Δ x \to 0} f (x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}

f' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x)

Siin arvestasime, et 1) funktsioon y = g (x) on kohal x diferentseeruv, järelikult ka pidev, ja seetõttu $\lim_{Δ x \to 0} g (x + Δ x) = g (x)$ , 2) $\lim_{Δ x \to 0} f (x) = f (x)$ , sest f (x) avaldis muutu Δx ei sisalda, Δx suhtes on f (x) kui konstant.

Kokkuvõetult:

[f (x) · g (x)]' = f '(x) · g (x) + f (x) · g '(x).

ja sõnastatult:

kahe funktsiooni korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele on liidetud esimese teguri ja teise teguri tuletise korrutis.

Näide 3.

Leiame \left(x^2\right)^'. Et \left(x^2\right)=x\cdot x, siis \left(x^2\right)^' = \left(x\cdot x\right)' = x′\cdot x+x\cdot x′ = 1\cdot x+x\cdot1 = 2x.

(x²)' = 2x.

Näide 4.Leiame \left(6x\right)′.Et 6x=6\cdot x, siis \left(6x\right)′=6′\cdot x+6\cdot x′=0\cdot x+6\cdot1=6.

Leiame [cf (x)]', kus c on konstant.\left[cf\left(x\right)\right]^' = c′\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = 0\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = cf′\left(x\right).Seega

[cf (x)]' = c · f '(x),konstantse teguri võib tuua tuletise märgi alt tegurina välja.

Näide 5. Leiame \left(5x^2\right)^'.\left(5x^2\right)^'=5\cdot\left(x^2\right)^'=5\cdot\left(2x\right)=10x.

Näide 6. Leiame \left(\frac{4}{x}\right)^'.Et \frac{4}{x}=4\cdot\frac{1}{x}, siis \left(\frac{4}{x}\right)^' = \left(4\cdot\frac{1}{x}\right)^' = 4\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^' = 4\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{4}{x^2}.

5. FUNKTSIOONIDE VAHE TULETIS.Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) diferentseeruvad kohal x. Leiame vahe f (x) – g (x) .Rakendame eespool tuletatud reegleid:[f (x) – g (x)]' = [f (x) + (–1) ⋅ g (x)]' = f '(x) + [(–1) ⋅ g (x)]' = f '(x) + (–1) ⋅ g '(x) = f '(x) – g '(x).Seega:

[f (x) – g (x)]' = f '(x) – g '(x),funktsioonide vahe tuletis võrdub vastavate funktsioonide tuletiste vahega.

Näide 7. Leiame (x² – x)'.(x² – x)' = (x²)' – x' = 2x – 1.

Ülesannete 829 ja 832 lahendamisel veendusime, et

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Näide 8.

Leiame funktsiooni y = x^1,5 graafiku puutuja võrrandi punktis, kus x₀ = 4.

Esitame funktsiooni kujul y=x\cdot x^{0,5} ehk y=x\cdot\sqrt{x}. Leiame puutepunkti A: kui x₀ = 4, siis y_0=4\cdot\sqrt{4}=8. Puutepunkt on A(4; 8). Leiame funktsiooni tuletise:

\left(x\sqrt{x}\right)^' = x'\sqrt{x}+x\left(\sqrt{x}\right)^' = \sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = 1,5\sqrt{x}.

Puutuja tõus k=y'\left(4\right)=1,5\cdot\sqrt{4}=3. Et puutuja kui sirge korral on teada punkt A ja tõus, siis võrrandi leiame kujul y-y_0=f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right). Järelikult puutuja võrrand on y – 8 = 3 ⋅ (x – 4) ehk y = 3x – 4.

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 833. Konstantse funktsiooni tuletis

y=25
y' =

y=-0,009
y' =

y=10
y' =

y=-\pi
y' =

y=e^{-3}
y' =

y=\pi\cdot e
y' =

y=\sin\frac{\pi}{6}
y' =

y=\tan7,7
y' =

y=\log10
y' =

Ülesanne 834. Funktsioonide summa tuletis

y=x+44
y' =

y=x+e
y' =

y=x-10
y' =

y=\frac{x+1}{x}
y' =

y=\frac{1}{x}+5
y' =

y=\frac{1-8x}{x}
y' =

Ülesanne 835. Astmefunktsiooni tuletis

Vastus. (x³)' =

Kirjutage veel kord välja x', (x²)' ja (x³)'. Milline võiks olla nende tuletiste eeskujul (xⁿ)', kui n ∈ N? Kontrollige oletust n = 4 korral, kasutades jälle korrutise tuletise reeglit.

Vastus. (xⁿ)' =

Ülesanne 836. Funktsiooni tuletis

y=7x
y' =

y=-3x
y' =

y=\frac{7}{x}
y' =

y=3x+6
y' =

y=2x+10
y' =

y=-4x+8
y' =

y=2\left(x+3\right)
y' =

y=6\left(2x+1\right)
y' =

y=3\left(x+\frac{1}{x}\right)
y' =

Ülesanne 837. Lineaarfunktsiooni tuletis

y' =

Ülesanne 838. Funktsiooni tuletis

y=4-x^2
y' =

y=8-x
y' =

y=10x^2-9
y' =

y=3x^2-2x+6
y' =

y=4x^2-6x
y' =

y=8x-7x^2
y' =

Ülesanne 839. Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal

f\left(x\right)=4x^2-8x+1
f ' (x) =

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) =

f\left(x\right)=\frac{1}{x}
f ' (x) =

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) =

f\left(x\right)=\frac{8x^3+4}{x}
f ' (x) =

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) =

Ülesanne 840. Liikumisseadus

s=t^2+2t+1.

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähtepunktist on ja kiirus on .

s=0,5t^2-0,8t

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähtepunktist on ja kiirus on .

s=80t+4

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähtepunktist on ja kiirus on .

Ülesanne 841. Puutuja tõus ja võrrand

x=3

Vastus. k = , y =
x=1

Vastus. k = , y =

x=0

Vastus. k = , y =
x=-1,5

Vastus. k = , y =

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 842. Funktsiooni tuletis

y=x^2+x+5
y' =

y=\frac{1}{x}+2x+3
y' =

y=\frac{x^2+3x+4}{x}
y' =

y=\frac{x^2-3x+2}{x}
y' =

y=\frac{11x^2-x}{x}
y' =

y=\frac{2x-4}{x}
y' =

Ülesanne 843. Funktsiooni tuletis

y=\left(x+3\right)^2
y' =

y=\left(4-2x\right)^2
y' =

y=\left(x-1\right)^2
y' =

y=x^2\sqrt{x}
y' =

y=2\sqrt{x}-3x^2
y' =

y=\left(\sqrt{x}+1\right)^2
y' =

Lisää aiheesta

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Funktsioonide summa ja korrutise tuletis

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 833. Konstantse funktsiooni tuletis

Ülesanne 834. Funktsioonide summa tuletis

Ülesanne 835. Astme­funktsiooni tuletis

Ülesanne 836. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 837. Lineaar­funktsiooni tuletis

Ülesanne 838. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 839. Funktsiooni tuletise väärtus antud kohal

Ülesanne 840. Liikumis­seadus

Ülesanne 841. Puutuja tõus ja võrrand

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 842. Funktsiooni tuletis

Ülesanne 843. Funktsiooni tuletis

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä

Ülesanne 835. Astmefunktsiooni tuletis

Ülesanne 837. Lineaarfunktsiooni tuletis

Ülesanne 840. Liikumisseadus