Случайная величина

Рассмотрим испытание, которое можно повторять сколько угодно раз и которое характеризуется n возможными числовыми результатами. Например, при бросании игральной кости возможными результатами являются числа выпавших очков. Все такие возможные результаты испытания можно рассматривать как возможные значения x₁, x₂, …, x_n некоторой переменной Х. Поскольку только случаем определяется, какое из значений этой величины проявится в конкретном испытании, такую величину Х называют случайной величиной[понятие: Случайная величина (juhuslik suurus) – величина, у которой появление конкретного значения (из множества возможных значений) зависит от случая. Например, число очков, выпадающих при бросании игральной кости.].

Появление в испытании того или иного значения случайной величины можно рассматривать как случайное событие. Случайными событиями можно считать также появление таких значений, которые удовлетворяют заданным условиям, например, a < X < b или X < c и т. п.

Для каждого значения х_i случайной величины Х можно найти вероятность р_i появления этого значения, так как появление х_i можно рассматривать как осуществление случайного события. Результаты можно представить в виде множества числовых пар (x_i; p_i), таблицей, графически, а также формулой. Но такие представления являются различными способами задания функции. Как известно, функция – это некоторый закон или правило, согласно которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции. В данном случае говорят, что соответствие между значениями случайной величины Х и их вероятностями задает закон распределения случайной величины[понятие: Закон распределения случайной величины (tõenäosusfunktsioon) – правило, по которому каждому возможному значению 𝑥ᵢ этой случайной величины ставится в соответствие вероятность 𝑃(𝑥ᵢ) его появления. Этот закон может быть задан в виде множества числовых пар, таблицы, графически или формулы.]. Приведем определение:

Если закон распределения случайной величины найден, то говорят также, что найдено распределение случайной величины[понятие: Распределение случайной величины – см. закон распределения случайной величины.].

В первых двух строках каждой из следующих таблиц приведено распределение случайной величины соответственно из примера 1 и примера 2.

Соответствующие графические представления приведены на рисунках 1.29 и 1.30.

Если задано распределение случайной величины, т. е. даны все числовые пары (x_i; p_i), где i = 1, 2, .., n, то имеет место основное свойство закона распределения[понятие: Основное свойство закона распределения (tõenäosusfunktsiooni põhiomadus) – сумма всех вероятностей, соответствующих возможным значениям случайной величины, равна 1.]:

p₁ + p₂ + … + p_n = 1,

так как при любом испытании обязательно появляется какое-нибудь значение х_i из множества {x₁, x₂,…, xn} всех возможных значений (т. е. сумма соответствующих, притом несовместных, событий является достоверным событием).

Распределение случайной величины Х часто задают также функцией P(X ≤ x), которая называется функцией распределения вероятностей[понятие: Функция распределения вероятностей (jaotusfunktsioon) – представляющая распределение случайной величины 𝑋 функция, которая каждому значению 𝑥ᵢ этой случайной величины ставит в соответствие вероятность 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥ᵢ), т. е. вероятность того, что в испытании значение случайной величины не превзойдет числа 𝑥ᵢ.] случайной величины. Эта функция каждому значению х_i случайной величины Х ставит в соответствие вероятность P(X ≤ x_i), т. е. вероятность того, что в испытании значение случайной величины Х не превзойдет числа x_i.

С помощью распределений случайной величины можно решать самые разнообразные задачи.

В параграфах 1.10–1.12 этой главы мы рассматривали исследование статистической совокупности относительно тех или иных количественных (числовых) признаков. Рассматривавшиеся там признаки, по существу, представляли собой случайные величины. В самом деле, распределения этих признаков описывались таблицами относительных частот, а относительная частота числового значения есть не что иное, как вероятность его появления. При этом распределение признака (как случайной величины) получалось в результате экспериментов и наблюдений, т. е. эмпирически[cноска: Oт греческого слова эмпейриa – опыт.]. Рассмотренные же в настоящем параграфе (примеры 1 и 2) распределения случайных величин были получены на основе теоретических соображений. Случайные величины (и их распределения) можно определять и теоретически, т. е. предварительно задавая их таблицами, формулами и т. п. Тогда случайная величина может рассматриваться как подходящая модель, описывающая некоторое полученное эмпирическим путем распределение. Так, например, распределения случайных величин, полученные по данным примеров 1 и 2, можно трактовать как теоретические модели реальных испытаний, заключающихся в соответствующих бросаниях игральной кости.