К настоящему времени мы изучили четыре вида зависимости между переменными х и у:
Все эти четыре случая объединяет общее свойство: дана формула, по которой каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у. Другими словами, задано правило, связывающее между собой величины х и у.
В окружающей действительности мы наблюдаем неисчислимое количество различных соответствий, которыми связываются те или иные объекты:
- каждому человеку соответствует его возраст в годах;
- каждому человеку, имеющему постоянное жительство в Эстонии, соответствует его личный код;
- каждому автомобилю соответствует его регистрационный номер, являющийся комбинацией букв и цифр;
- каждому кругу с радиусом r соответствует определенное число – площадь S этого круга и т. д.
Во всех рассмотренных случаях всегда присутствуют две величины (например, человек и его возраст, радиус r и площадь S круга). Каждая из этих величин может принимать различные значения из некоторого множества. Например, в случае с возрастом одна величина (человек) – это всегда один из элементов множества всех людей на Земле, а другая (возраст) – элемент множества всех натуральных чисел.
Если х обозначает произвольный элемент из некоторого множества величин (объектов), то говорят, что х есть переменная величина, или переменная[понятие: Переменная, или переменная величина (muutuja, muutuv suurus) – величина, которая в данной задаче или рассуждении может принимать различные числовые значения.]. Таким образом, в случае рассмотренных зависимостей всегда присутствуют две переменные величины. При изменении одной из них изменяется и другая величина. Например, если мы выберем ученика А, то ему соответствует один номер в списке класса, если же выберем другого ученика В, то ему соответствует уже другой номер и т. д. Одну из двух рассматриваемых величин мы изменяем сами, другая же изменяется в зависимости от первой.
Переменная, которой мы можем сами произвольным образом придавать значения из некоторого множества, называется независимой переменной[понятие: Независимая переменная, или аргумент (sõltumatu muutuja) – переменная, которой мы можем придавать произвольные значения из некоторого множества.] (аргументом[понятие: Аргумент – см. независимая переменная.]). Переменная, значения которой находят в соответствии с заданными значениями независимой переменной, называется зависимой переменной[понятие: Зависимая переменная (sõltuv muutuja) – переменная, значения которой находят в соответствии с заданными значениями независимой переменной.].
Например, радиус круга r можно рассматривать как независимую переменную, а его площадь S – как зависимую переменную, значения которой вычисляются в зависимости от значения r по формуле S = πr2. Имеется точное правило, в соответствии с которым каждому жителю Эстонской Республики (независимая переменная) присваивается его личный код (зависимая переменная).
В окружающей действительности можно найти примеры и таких двух величин, которые обе изменяются, но значения одной из них не определяют значений другой. Например, нельзя точно определить, как связаны изменение роста человека с изменением его веса, время обучения – и полученные оценки и т. п. Такие ситуации нас сейчас интересовать не будут. В большинстве рассмотренных выше примеров каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такие зависимости называются функциями[понятие: Функция (funktsioon) – правило (или зависимость), при котором каждому значению независимой переменной ставится в соответствие одно определенное значение зависимой переменной.].
[cноска: Funktsiooni mõiste võttis kasutusele saksa matemaatik Gottfried Wilhelm Leibniz 17. sajandi lõpul.]Если каждому значению независимой переменной х из множества Х поставлено в соответствие одно определенное значение зависимой переменной у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция[cноска: Понятие функции ввел в употребление немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Leibniz) в конце XVII века.].
Множество X, на котором задана функция, называется областью определения[понятие: Область определения функции (funktsiooni määramispiirkond) – множество всех возможных (или заданных) значений независимой переменной, при которых существует (можно вычислить) значение функции. Обозначается буквой 𝑋.] функции. Что же касается множества Y, которому принадлежат значения переменной y, то в приведенном выше определении на него накладывается только одно требование: оно должно содержать все значения переменной у, которые соответствуют всевозможным значениям x ∈ X. Таким образом, это множество может, вообще говоря, содержать и какие-то другие элементы, не соответствующие никаким значениям х. В дальнейшем мы, как правило, будем предполагать, что таких элементов нет, т. е. что каждый элемент множества Y соответствует некоторому элементу x ∈ X. В этом случае множество Y называется областью изменения[понятие: Область изменения функции – см. множество значений функции.] или множеством значений[понятие: Множество значений функции (funktsiooni muutumispiirkond) – множество всех значений рассматриваемой функции. Обозначается буквой 𝑌.] функции (рис. 2.23).
Рис. 2.23 | ||||||
Область определения функции – это множество X значений независимой переменной x (аргумента). Область изменения функции – это множество Y всех значений зависимой переменной y.
Мы будем рассматривать только числовые функции, т. е. такие, где X и Y есть числовые множества.
Соответствие, или правило, с помощью которого задана функция, обозначают y = f(x), где x ∈ X и y ∈ Y, а f – то правило, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие значение у. Говорят: „функция y = f (x)” или „функция f ”. Ее можно обозначать и другими буквами, например y = g(x). Функцию часто задают некоторой формулой, например, у = 5х2 – 4х. Если обозначить эту функцию через f, то задающую ее формулу можно записать также в виде f(x) = 5х2 – 4х.
Значение у, соответствующее значению аргумента х, называется значением функции при данном значении аргумента (в точке х). Запись f(a) обозначает значение функции y = f(x), соответствующее значению аргумента x = a (т. е. значение функции в точке а).
Если область определения функции не указана заранее, то областью определения функции считают множество всех тех чисел х, для которых можно найти соответствующее значение f(x).
Пример 1.
Пусть даны множества X = {1; 2; 3; 4; 5} и Y = {6; 7; 8; 9; 10}. Рассмотрим заданную на множестве X функцию f (x) = x + 5. Тогда для любого х ∈ X соответствующее значение функции f(x) ∈ Y. Как область определения, так и множество значений этой функции содержат по 5 элементов.
Пример 2.
Рассмотрим функцию f (x) = 2x – 1. Областью определения этой функции является множество R всех действительных чисел, поскольку значение выражения 2х – 1 можно вычислить для любого числа х. Например, f (0) = 2 · 0 – 1 = –1; f (1) = 2 · 1 – 1 = 1 и т. д. Множеством значений рассматриваемой функции также является множество R всех действительных чисел. Убедитесь в этом с помощью графика этой функции.
Пример 3.
Области определения функции
Пример 4.
Область определения функции
Пример 5.
Рассмотренные в начале 2-й главы последовательности являются частными случаями функции (см. определение в § 2.1). Каждый член последовательности (an) – это число an, поставленное в соответствие натуральному числу n ≥ 1. В данном случае X = Z+ и вместо f(n) пишут an. Таким образом,
последовательность – это функция положительного натурального аргумента.
Упражнения A
Задание 437. Функция
- стоимость проездного билета и длина поездки;
- сторона квадрата и площадь квадрата;
- длина медного провода и температура этого провода;
- давление воды, испытываемое подводной лодкой, и глубина погружения лодки;
- скорость движения автомобиля и количество бензина в его бензобаке;
- время, прошедшее с начала равномерного движения, и пройденное за это время расстояние.
Задание 438. Значение функции
f (0) =
f (–1) =
f (0,5) =
f (–3) =
Задание 439. Измерение температуры
- Какие величины являются переменными?
- Какая из них является независимой, а какая – зависимой переменной?
Ответ: независимой переменной является , а зависимой переменной – . - Задает ли эта таблица функцию? Почему? При утвердительном ответе запишите область определения X и множество значений Y этой функции.
Задание 440. Область определения функции
- Palvelun tarjoaa Star Cloud OÜ