Предел функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

Рассмотрим функцию y=\frac{x^2+x-2}{x+2}. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, за исключением значения х = –2, так как в этой точке значение функции не существует (деление на 0 невозможно). Подставив х = –2 в формулу функции, получим выражение \frac{0}{0}, не имеющее определенного значения; поэтому говорят, что в данном случае мы имеем дело с неопределенностью.

Составим таблицу значений функции y=\frac{x^2+x-2}{x+2} и построим ее график по точкам.

Графиком оказывается прямая, из которой «выколота» одна точка (рис. 3.8,а или 3.8,б). Эта точка обозначена в виде маленького кружка, т. е. как «пустая» точка (рис. 3.8,а), или с помощью двух стрелок, острия которых оканчиваются в этой точке (рис. 3.8,б).

То, что графиком функции в ее области определения действительно является прямая, видно и из разложения квадратного трехчлена x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right), и потому выражение в формуле функции при x ≠ –2 записывается в виде

\frac{x^2+x-2}{x+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+2}=x-1.   (1)

Таким образом, функции

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}, где x ∈ R, x ≠ –2,   (2)

и

y = x – 1, где x ∈ R,   (3)

отличаются только одной точкой области определения x = –2. Поэтому и графики этих функций совпадают, за исключением точки с абсциссойl x = –2.

Выясним теперь, как функция y=\frac{x^2+x-2}{x+2} ведет себя вблизи точки х = –2, или, как говорят в математике, в окрестности точки x = –2. Для этого будем придавать аргументу значения, все более близкие к числу –2, т. е. рассмотрим последовательность значений аргумента x, стремящихся к числу –2. Найдем также последовательность соответствующих значений функции.

Пусть, например, последовательность значений аргумента х, стремящихся к –2, является следующей:

x: –2,1; –2,01; –2,001; –2,0001; –2,00001; … → –2.

Тогда соответствующие значения функции

y: –3,1; –3,01; –3,001; –3,0001; –3,00001; … → –3.

Из второй строки видно, что значения функции при этом неограниченно приближаются к числу –3, если значения аргумента неограниченно приближаются к числу –2.

Оказывается, что для любой последовательности значений аргумента х, неограниченно приближающейся к числу –2, последовательность соответствующих значений функции неограниченно приближается все к тому же числу –3. Например, если

x: 2; 1,5; −0,3; −1,1; −1,58; −1,9; −1,999; −1,999999; … → –2,

то

y: 1; 0,5; −1,3; −2,1; −2,58; −2,9; −2,999; −2,999999; … → –3.

В рассмотренном примере число –3 является пределом функции[понятие: Предел функции (funktsiooni piirväärtus) – число 𝐴 называется пределом функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑎, если для любой последовательности значений аргумента, пределом которой является число 𝑎, пределом последовательности соответствующих значений функции является число 𝐴.] $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{2}}$$ при х → –2, что записывается так:

если x\to-2, то \frac{x^2+x-2}{x+2}\to-3   или в виде  $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Последнее равенство читается: предел функции \frac{x^2+x-2}{x+2} при х, стремящемся к –2 (или в точке –2), равен –3. Символ lim происходит от латинского слова limes – граница.

В общем случае, если предел функции y=f\left(x\right) в точке а равен А, то пишут

или

Как было замечено выше, функция y=\frac{x^2+x-2}{x+2} не имеет значения (не определена) в точке х = –2. В то же время в этой точке существует предел –3, что мы записали в виде $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Но тот же результат –3 мы получили бы, воспользовавшись преобразованием (1) данной функции и получив новое выражение х – 1, имеющее значение при х = –2 (см. с. 183). Поэтому возникает вопрос, нельзя ли найти предел функции более простым способом, не прибегая к помощи последовательностей? Для этого в выражении \frac{x^2+x-2}{x+2} нужно освободиться от неопределенности в точке х = –2, после чего достаточно вычислить значение нового выражения в данной точке –2. Это можно записать в виде:

$$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}$$ = $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{\left(x - 1\right)\left(x + 2\right)}{\left(x + 2\right)}$$ = $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\left(x-1\right)$$ = $$ -3$$.

На основании примеров можно сформулировать два правила, по которым удобно вычислять предел в данной точке.

1. Если функция y=f\left(x\right) имеет неопределенность в точке а, то нужно преобразовать выражение функции так, чтобы освободиться от этой неопределенности. После этого значением предела в точке а будет значение нового выражения в точке а.
2. Если функция y=f\left(x\right) имеет значение в точке а, то $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$$.

Обратим внимание, что символы ±∞ не обозначают никакого числа. Записи х → ∞ и х → – ∞ означают, что значения аргумента х возрастают и становятся сколь угодно большими (происходит движение вправо по оси Ох) и соответственно неограниченно убывают в отрицательном направлении (движение по оси абсцисс влево).

Если значения самой функции y=f\left(x\right) еограниченно возрастают или неограниченно убывают, то также пишут f\left(x\right)\to∞ и f\left(x\right)\to-∞. То же самое записывают и в виде $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty $$ и $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=-\infty $$, причем часто говорят, что предел функции f(x) равен плюс бесконечности или минус бесконечности.

Вспомним свойства показательной функции y=a^x, где a>1 (раздел 10.3, рис. 2.38).

При неограниченном увеличении значений аргумента значения функции неограниченно возрастают:

если x\to∞, то a^x\to∞, или короче, $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$.

Если же значения х неограниченно убывают, то значения функции приближаются к нулю:

если x\to-∞, то a^x\to0, или короче, $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$.

Неопределенность может также быть вида \frac{∞}{∞}. Как и в описанной выше ситуации, нужно преобразовать выражение функции так, чтобы можно было освободиться от неопределенности.