Konspekt vektor ja joon tasandil

  • Vektor tasandil
  • Lõigu keskpunkt
  • Sirged tasandil
  • Ringjoone võrrand
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Vektor tasandil

Vektor

Vektor \overrightarrow{AB} punktist A(xA; yA) punktini B(xB; yB) avaldub järgnevalt:

\overrightarrow{AB}=\left(X;\ Y\right)=\left(x_B-x_A;\ y_B-y_A\right)

Vektori pikkus ja korrutamine arvuga

Vektori \vec{a}=\left(X;\ Y\right) pikkus on Pythagorase teoreemist tulenevalt

\left|\vec{a}\right|=\sqrt{X^2+Y^2}

Vektori korrutamine reaalarvuga c ≠ 0 jätab vektori sihi samaks, muudab vektori pikkust \left|c\right| korda ning sõltuvalt konstandi märgist jätab vektori suuna samaks (c > 0) või pöörab selle vastupidiseks (c < 0):

c\vec{a}=c\left(X;\ Y\right)=\left(cX;\ cY\right)

Vektorite liitmine ja lahutamine

Vektorite \vec{a}=\left(X_a;\ Y_a\right) ja \vec{b}=\left(X_b;\ Y_b\right) summa ning vahe avalduvad kujul:

\vec{a}\pm\vec{b}=\left(X_a\pm X_b;\ Y_a\pm Y_b\right)

Geomeetriliselt tuleb liitmiseks viia üks vektor teise lõpp-punkti ning ühendada esimese vektori alguspunkt teise lõpp-punktiga. Geomeetrilise lahutamise asemel võib liita antud vektori vastandvektori.

Skalaarkorrutis

Vektorite  \vec{a}=\left(X_a;\ Y_a\right) ja \vec{b}=\left(X_b;\ Y_b\right)  skalaarkorrutist saab avaldada kaht võrdväärset moodi.

Esimene võimalus on korrutada omavahel vastavad koordinaadid ning seejärel korrutised liita. See meetod on mugav, kui on antud vektorite koordinaadid.

\vec{a}\cdot\vec{b}=X_aX_b\ +\ Y_aY_b

Teine võimalus skalaarkorrutise arvutamiseks on läbi vektorite pikkuste ning vektorite vahelise nurga φ. Ühtlasi saab sellest definitsioonist lähtuvalt kergelt leida vektoritevahelisi nurki.

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\mathrm{\varphi}

Lõigu keskpunkt

Lõigu AB keskpunkti C koordinaadid on lõigu otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.

C\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Sirged tasandil

Sirge võrrand

Sirge võrrandi saab kirjutada kujul

 y = kx + b, 

kus k on sirge tõus ja b algordinaat.

Ühtlasi saab selle võrrandi teisendada sirge üldvõrrandiks kujul

Ax + By + C = 0

Sirge võrrandit saab koostada

  • kahe punkti või
  • ühe punkti ja sihivektori (või tõusu) abil.

Sirge sihivektori leiab sirge võrranditest:

\vec{s}=\left(1;\ k\right)
\vec{s}=\left(1;\ -\frac{A}{B}\right)
\vec{s}=\left(-B;\ A\right)​​

Sirgete vastastikused asendid

  • Üldkujul esitatud sirged on ühtivad, kui

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.

  • Sirged on paralleelsed, kui teine neist kahest võrdusest ei kehti.
  • Sirged lõikuvad, kui vähemalt esimene võrdus ei kehti.

Sellest lähtub, et sirged on paralleelsed või ühtivad kui nende tõusud on samad ning lõikuvad kui tõusud on erinevad.

Kaks sirget ristuvad,

  • kui nende tõusude korrutis on miinus üks:
    k1 ⋅ k2 = –1
  • ​kui nende sihi- või normaalvektorite skalaarkorrutis on null:
    ​\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=0
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ringjoone võrrand

Ringjoont, mille keskpunkt asub punktis O(a; b) ja mille raadius on r, saab kirjeldada võrrandiga:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Analoogselt sirgele, saab ka ringjoone võrrandi viia üldkujule:

Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0

Lisää aiheesta
Muut toiminnot