Harjutus­ülesanded. Vektor ja joon tasandil

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Kolmnurga ABC tipud on A(−3; 0), B(1; −4), C(2; 3).

  1. Leia kolmnurga külgede vektorid.
  2. Leia kolmnurga ABC külgede pikkused.
    Külje pikkus a on võrdne vektori \vec{a}=\left(X;\ Y\right) pikkusega
     
  3. Leia kolmnurga suurim nurk, ümarda ühelisteni.
    • Suurim nurk onkülje vastas, järelikult on suurim 
    • Vastavate vektorite skalaarkorrutis on 
    • Nurga suurus ≈ °
Vihje
Suurim nurk on pikima külje vastas, järelikult on suurim ∠A . Selle nurga suuruse saab leida koosinusteoreemiga või valemiga cos ∠ A = A B → · A C → A B → · A C →
  1. Leia ringjoone kanooniline võrrand, kui diameetriks on kolmnurga külg AB.
    • Ringjoone keskpunkt 
    • R2 = 
    • Ringjoone võrrand 
Lahendus
  1. Vektorite koordinaatide leidmiseks tuleb lõpp-punkti koordinaatidest lahutada alguspunkti vastavad koordinaadid:
    • \overrightarrow{AB}= (1 – (–3); –4 – 0) = (4; –4)
    • \overrightarrow{AC}= (2 – (–3); 3 – 0) = (5; 3)
    • \overrightarrow{BC}= (2 – 1; 3 – (–4)) = (1; 7)
  2. Külgede pikkused on võrdsed vastavate vektorite pikkusega:
    • AB=\sqrt{4^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{16+16}=
      =\sqrt{32}=4\sqrt{2}​
    • AC=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}
    • BC=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{1+49}=
      =\sqrt{50}=5\sqrt{2}
  3. ​Suurim nurk on pikima külje vastas, järelikult on suurim ∠A. Selle nurga suuruse saab leida valemiga \cos\angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}.
    • \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= (4; –4) ⋅ (5; 3) =
      = 4​ ⋅ 5 + (–4) ⋅ 3 = 20 – 12 = 8
    • \cos\left(\angle A\right)=\frac{8}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{34}}=
      =\frac{8}{8\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}
    • \angle A=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)\approx76\degree
  4. Ringjoone kanooniline võrrand:
    • Ringjoone keskpunkt on külje AB keskpunkt, mille koordinaadid on punktide A ja B koordinaatide aritmeetilised keskmised:
      K\left(\frac{-3+1}{2};\ \frac{0-4}{2}\right)
      K(–1; –2)
    • Raadiuse ruut:
      ​R^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{32}{4}=8
    • Ringjoone kanooniline võrrand on (x – a)2 + (y – b)2 = R2, kus keskpunkt on K(a; b).
      (x + 1)2 + (y + 2)2 = 8​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

On antud järgmiste puntide koordinaadid on K(4; 1), L(−2; 5), M(−2; 0) ja N(1; −2).

  1. Leia vektorite koordinaadid:
  2. Arvuta vektori 2\ \overrightarrow{KL}+3\overrightarrow{\ MN} koordinaadid.
  3. Koosta sirge KN võrrand.
  4. Koosta võrrand sirgele, mis ristub sirgega KN ja läbib punkti L.
    • sirge KN tõus k1 = 
    • ristuva sirge tõus k2 = 
  5. Leia punktides 3. ja 4. koostatud sirgete lõikepunkti A koordinaadid.
    •  
Lahendus
  1. Vektorite koordinaadid:
    • \overrightarrow{KL}= (–2 – 4; 5 – 1) = (–6; 4)
    • \overrightarrow{MN}= (1 – (–2); –2 – 0) = (3; –2)
  2. Vektori korrutamine arvuga ja vektorite liitmine:
    2\ \overrightarrow{KL}+3\ \overrightarrow{MN}=
    = 2 ⋅ (–6; 4) + 3 ⋅ (3; –2) =
    = ​(–12; 8) + (9; –6) =
    = (–12 + 9; 8 + (–6)) = (–3; 2) ​
  3. Sirge KN võrrand kahe punkti järgi teisendatud kujule y = kx + b:
    ​\frac{x-4}{1-4}=\frac{y-1}{-2-1}
    \frac{x-4}{-3}=\frac{y-1}{-3}
    ​​–3(y – 1) = –3(x – 4)
    y – 1 = x – 4
    y = x – 3 (k1 = 1)​​
  4. Sirge võrrand, mis ristub sirgega KN ja läbib punkti L:
    • Ristuvate sirgete tõusude korrutis on –1.
      k1 = 1, k2 = –1
    • ​Sirge võrrand tõusu ja ühe punkti järgi
      ​y – 5 = –1(x – (–2))
      y – 5 = –x – 2
      y = –x + 3​
  5. Ristuvate sirgete lõikepunkti A leidmiseks tuleb koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
    + y = x - 3 y = - x + 3 + 2 y =  0 y =  0
    0 = x – 3
    x = 3
    A(3; 0)​​​​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksamite ülesanded

On antud punkt A(2; 1) ning vektorid \overrightarrow{AB}=\left(4;\ 3\right) ja \overrightarrow{CA}=\left(-5;\ 1\right).

  1. Joonestage kolmnurk ABC.
  2. Koostage sirge BC võrrand.
  3. Koostage võrrand sirgele s, mis läbib punkti A ja on risti sirgega BC.
    • k = 
  4. Põhjendage arvutustega, kas sirge s läbib kolmnurga ABC külje BC keskpunkti.
Vastused
  3. Sirge skülje BC keskpunkti.

Trapetsi ABCD lühema haara CD otspunktid on C(1; 9) ja D(5; 1). Haara AB keskpunkt on M(−5; 1) ja haaral AB asub vektor \overrightarrow{MA}=\left(6;\ -2\right). 

  1. Arvutage punktide A ja B koordinaadid (3 p).
  2. Joonestage koordinaattasandile trapets ABCD (1 p) ja näidake arvutuste abil, et see trapets on täisnurkne (3 p).
  3. Arvutage trapetsi ABCD pindala (3 p).
Vastus
  1. Punktide koordinaadid
  2. Trapets on täisnurkne, sest vastavate külgi määravate
    • vektoriteon 
    • sirgeteon 
  3. S = 

On antud punktid A(–1; 3), B(3; 1) ja C(0; –3).

  1. Leidke vektori \overrightarrow{BC} pikkus (2 p).
  2. Nelinurk ABCD on rööpkülik. Arvutage punkti D koordinaadid (3 p) ja joonestage rööpkülik ABCD koordinaat­teljestikku (1 p).
Märkus
Kui punkti D koordinaadid on leitud jooniselt, siis kokku 1punkt.
  1. Arvutage rööpküliku ABCD pindala (4 punkti).
Vastus
  3. S =  pü

On antud punkt A(5; 1) ning vektorid \overrightarrow{AB}=\left(-2;\ 4\right) ja \overrightarrow{CA}=\left(4;\ 1\right).

  1. Märkige koordinaatteljestikku punkt A, joonestage vektorid \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{CA}. ning leidke punktide B ja C koordinaadid.
  2. Arvutage lõigu BC täpne pikkus.
  3. Koostage sirge BC võrrand.
  4. Joonestage koordinaat­teljestikku sirge, mis läbib punkti A ja on paralleelne x-teljega ning lõikab sirget BC punktis L. Arvutage punkti L koordinaadid.
Vastus
  1. Punktide koordinaadid
Joonis

Sirge s, mille võrrand on y = 2x – 4, lõikab x-telge punktis A. Sirge t on paralleelne sirgega s ja läbib koordinaatide alguspunkti O(0; 0).

  1. Leidke punkti A koordinaadid ja koostage sirge t võrrand.
  2. Märkige koordinaatteljestikku punktid A ja O ning joonestage sirged s ja t.
  3. Rööpküliku OABC kõik tipud asetsevad sirgetel s ja t ning \overrightarrow{AC}=\left(1;\ 6\right).. Arvutage rööpküliku tippude B ja C koordinaadid ning joonestage rööpkülik OABC koordinaatteljestikku.
  4. Arvutage rööpküliku OABC pindala.
Vastus
  1. , 
  1. Rööpküliku tipud  ja 
  2. SOABC =  pü
Joonis

Kolmnurga ABC kaks tippu on punktides A(4; –3) ja B(8; 5) ning kolmnurga ühe külje määrab vektor \overrightarrow{BC}=\left(-10;\ -1\right).

  1. Arvutage punkti C koordinaadid ja joonestage antud koordinaatteljestikku kolmnurk ABC.
  2. Arvutage lõigu AB pikkus.
  3. Koostage sirge AB võrrand.
  4. Koostage kolmnurga ABC tippu C läbiva ja sirgega AB ristuva sirge võrrand.
Vastus
  3. Sirge AB:
  4. Ristuv sirge 
Joonis

Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on A(–4; 2), B(2; –4) ja C(8; 4).

  1. Joonestage kolmnurk ABC koordinaat­tasandile.
  2. Koostage sirge AB võrrand.
  3. Koostage sirge võrrand, kui sirge läbib kolmnurga külje AC keskpunkti M ning on paralleelne kolmnurga küljega AB. Joonestage see sirge.
Vastus
  1. Sirge AB 
  2. Paralleelne sirge 
Joonis

On antud punktid A(-1; 1) ja B(5; 3).

  1. Ringjoone diameeter on lõik AB. Koostage ringjoone võrrand.
    • Ringjoone keskpunkt 
  2. Arvutage selle ringjoone pikkus.
  3. Koostage lõigu AB keskristsirge võrrand.
Vastus
  1. Ringjoone võrrand 
  2.  ühikut
Seotud sisu
Muud tegevused