Harjutus­ülesanded. Tõenäosus ja statistika

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanne 1

  1. Ühes klassis on 18 tüdrukut ja 12 poissi. Ühel päeval puudus ainult üks õpilane sellest klassist. Kui suur on tõenäosus, et puuduja oli tüdruk?
  2. Teisel päeval oli aga selles klassis kaks puudujat. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad puudujad olid poisid?
Vihje
Leia kõigepealt tõenäosus, et üks puudujatest on poiss.
Seejärel leia tõenäosus, et ka teine on poiss.
NB! Nüüd on nii poisse kui ka õpilasi kokku juba vähem.
Selleks, et leida tõenäosust, et mõlemad puudujad on poisid, tuleb leitud tõenäosused korrutada.
  1. Kui suur on tõenäosus, et teisel päeval on mõlemad puudujad samast soost?
Vihje
Mõlemad on samast soost tähendab, et mõlemad on kas poisid või tüdrukud.
Kuna need sündmused korraga toimuda ei saa, siis liidame leitud tõenäosused.
Vastused
Lahendus
  1. Tõenäosus, et puuduja on tüdruk:
    P\left(\mathrm{T}\right)=\frac{18}{18+12}=\frac{3}{5}=0,6
  2. ​Leiame tõenäosuse, et mõlemad puudujad olid poisid.
    1. Leiame kõigepealt tõenäosuse, et üks puudujatest on poiss:
      P\left(1P\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4
    2. Seejärel leia tõenäosus, et ka teine on poiss:
      ​​​P\left(2.\mathrm{P}\right)=\frac{12-1}{30-1}=\frac{11}{29}
    3. Leitud tõenäosused tuleb korrutada:
      ​P\left(\mathrm{mõlemad\ poisid}\right)=
      ​=\frac{2}{5}\cdot\frac{11}{29}=\frac{22}{145}
  3. Leiame tõenäosuse, et puudujad on samast soost, st
    1. mõlemad on poisid
      ​P\left(\mathrm{P,\ P}\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{11}{29}=\frac{22}{145}või
    2. mõlemad on tüdrukud
      P\left(\mathrm{T,\ T}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{17}{29}=\frac{51}{145}
    3. ​Kuna need sündmused korraga toimuda ei saa, siis liidame leitud tõenäosused.
      ​P\left(\mathrm{samast\ soost}\right)=
      ​=\frac{22}{145}+\frac{51}{145}=\frac{73}{145}
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanne 2

Arst soovitas Anul käia iga päev vähemalt 10 000 sammu. Käidud sammude jälgimiseks ostis Anu aktiivsusmonitori, mis luges ka samme. Ühe nädala tulemused on kuvatud alltoodud tabelis. 

Päev

Samme

Esmaspäev

10 885

Teisipäev

11 113

Kolmapäev

10 388

Neljapäev

11 141

Reede

8734

Laupäev

7159

Pühapäev

15 557

Kokku

  1. Mitu sammu päevas käis Anu sellel nädalal keskmiselt?
Vihje
Keskmiste sammude arvutamiseks liida kõik sammud kokku ja jaga tulemus päevade arvuga.
  1. Mitu sammu on selle nädala sammude mediaan?
Vihje
Mediaani leidmiseks tuleb järjestada andmed kasvavalt ning leida selles reas keskel asuv element.
  • 10 338
  • 11 113
  • 15 557
  • 10 885
  • 7159
  • 11 141
  • 8734
  1. Mitu kilomeetrit käis Anu pühapäeval kokku, kui tema keskmine sammu pikkus on 0,75 m? Anna vastus kümnendiku täpsusega.
  2. Mitu protsenti moodustab pühapäevane sammude arv kogu nädala sammude arvust?
Vihje
Protsendi leidmiseks jaga selle päeva sammude arv kogu nädala sammude arvuga ning korruta saadud vastus sajaga.
Vastused
  1.  sammu
  2. Me = 
  3. Pühapäeval käis Anu ligikaudu  kilomeetrit.
  4. Pühapäevane sammude arv moodustab nädala sammudest ligikaudu  protsenti.
Lahendus
  1. Keskmiste sammude arvutamiseks liidame kõik sammud kokku ja jagame tulemuse päevade arvuga.
    \overline{x}=\frac{74\ 977}{7}=10\ 711 sammu päevas
  2. ​Mediaani leidmiseks tuleb järjestada andmed kasvavalt ning leida selles reas keskel asuv element.
    7159; ​8734; 10 388; 10 885; 11 113; 11 141; 15 557
    Me = 10 885 ​sammu päevas
  3. Pühapäeval läbitud kilomeetrite leidmiseks korrutame selle päeva sammude arvu Anu keskmise sammu pikkusega ning teisendame vastus kilomeetriteks.
    ​15 557 · 0,75 = 11 667,75 m ≈
    ​≈ 11,7 km
  4. Pühapäevane sammude arv moodustab nädala sammudest
    \frac{15\ 557\cdot100}{74\ 977}\approx20,7\%​
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Riigieksamite ülesanded

On kaks õnneratast, mida mängija võib keerutada. Esimesel rattal on neli võrdse suurusega sektorit ja teisel rattal kolm võrdse suurusega sektorit. 

Ratas saab peatuda ainult nii, et nool asub sektoril, mitte sektorite vahejoonel. Iga keerutamise tulemusel saab mängija sellise arvu punkte, mis on kirjas noolega osutatud sektoril.

  1. Kui suur on tõenäosus, et ainult teist ratast keerutades saab mängija 6 punkti?
  2. Missugustel juhtudel saab mängija mõlemat ratast ühe korra keerutades kokku 6 punkti?
  3. Leidke tõenäosus, et mõlemat ratast ühe korra keerutades saab mängija kokku 6 punkti.
Vastused
  2.  või  (alustage esimese ratta väiksemast numbrist)

Klass, kus õpib 32 õpilast, osales koolidevahelisel statistikavõistlusel ja võitis hea esinemise eest auhinnaks 24 kinopiletit. Kinopileti saajad otsustati valida juhuslikult. Selleks võeti 32 ühesugust ümbrikku, neist 24 sisse pandi pilet ja 8 ümbrikku jäeti tühjaks. Kõik ümbrikud suleti ja õpilased valisid üksteise järel nende seast ümbriku.

  1. Kui suur osa selle klassi õpilastest jäi kinopiletist ilma?
  2. Kui suur on tõenäosus, et esimesena ümbriku võtnud õpilane sai kinopileti?
  3. Kui suur on tõenäosus, et nii esimesena (sündmus A) kui teisena (sündmus B) ümbriku võtnud õpilane sai kinopileti (sündmus C)?
Vastused
  1. Piletist jäi ilma % selle klassi õpilastest.
  3.  (ümarda vastus sajandikeni)

Laual on 2 karpi pärlitega. Kõik pärlid on ühesuurused ja erinevad üksteisest vaid värvi poolest. Ühes karbis on 5 musta ja 6 valget pärlit ning teises karbis 4 musta ja 5 valget pärlit.

  1. Kummast karbist ühte pärlit võttes on valge pärli saamise tõenäosus suurem?
  2. Mõlemast karbist võeti üks pärl. Kui suur on tõenäosus, et võetud pärlid on mõlemad valged?
Vastused
  1. karbist võttes on valge pärli saamise tõenäosus suurem.
  2. Tõenäosus, et mõlemad pärlid on valged, on .

Karbis on 32 väliselt ühesugust kommi. Osa neist on pähklitäidisega, ülejäänud marjatäidisega. Tõenäosus sellest karbist saada pähklitäidisega komm on 0,25.

  1. Mitu pähklitäidisega ja mitu marjatäidisega kommi on karbis?
  2. Kui sellest karbist võtta korraga kaks juhuslikku kommi, siis kui suur on tõenäosus, et
    1. mõlemad kommid on marjatäidisega;
    2. mõlemad kommid on erineva täidisega;
    3. vähemalt üks komm on pähklitäidisega?

Ümarda vastused sajandikeni.

Vastused
  1. Karbis on  pähkli- ja  marja­täidisega kommi.
  2. Tõenäosus, et
    1. mõlemad kommid on marjatäidisega
      ;
    2. mõlemad kommid on erineva täidisega
      ( võimalust)
      ;
    3. vähemalt üks komm on pähklitäidisega
      ( võimalust)
      .

Kirjastuses töötab 8 toimetajat: 2 meest ja 6 naist. Nende hulgast valiti juhuslikult 2 käsikirja toimetajat.

  1. Mitu erinevat võimalust oli 2 toimetaja valimiseks?
    • leida tuleb
  2. Kui suur oli tõenäosus, et mõlemad juhuslikult valitud toimetajad olid mehed?
  3. Üks toimetaja märkas viga tõenäosusega 0,95 ja teine tõenäosusega 0,80. Kui suur on tõenäosus, et
    1. mõlemad toimetajad märkasid viga?
    2. vähemalt üks toimetaja märkas viga?
Vastused
  1. Kahe toimetaja valimiseks on  erinevat võimalust.

Ajakirjas oli loogikaülesanne, mille lahendajad võisid saada auhindu. Oma lahenduse saatis 10 erinevat inimest ja lahenduste eest jagati punkte järgmiselt:

27; 30; 30; 27; 24; 32; 30; 29; 25; 32.

Nende lahendajate vahel, kelle tulemus oli keskmisest lahendustulemusest suurem, loositi välja kaks ühesugust auhinda.

  1. Koostage lahendustulemuste põhjal sagedustabel. Mitu lahendajat osales auhindade loosimisel?
  2. Mitmel erineval viisil võis jagada kaks auhinda?
  3. Kui suur oli tõenäosus, et auhinna sai lahendaja, kelle tulemus oli 24 punkti?
  4. Kui suur oli tõenäosus, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale?
Vastused
  1. Sagedustabel

Punktid

Sagedus

  • Keskmine skoor oli .
  • Auhindade loosimisel osales  lahendajat.
  1. Kaks auhinda sai jagada  erineval viisil.
  2. Tõenäosus, et lahendaja, kes sai 24 punkti, võitis auhinna, on .
  3. Tõenäosus, et auhinna said kaks parimat lahendajat, on .

Laulukonkursi eelvoorus osales 160 laulu. Neist 15% valis žürii lõppvooru. Väljavalitud lauludest \frac{3}{8} olid eesti keeles ja ülejäänud inglise keeles.

  1. Mitu laulu pääses lõppvooru?
  2. Mitu eestikeelset ja mitu ingliskeelset laulu pääses lõppvooru?
  3. Oletame, et kõikidel lõppvooru pääsenud lauludel on võrdsed võimalused konkurss võita. Kui suur on tõenäosus, et lõppvooru pääsenud lauludest
    1. võidab konkursi ingliskeelne laul?
    2. jääb kolmandaks saksakeelne laul?
  4. Oletame, et lõppvooru pääsenud lauludest tuleb moodustada kolmik, milles on üks eestikeelne ja kaks ingliskeelset laulu. Kui palju erinevaid võimalusi on tingimustele vastava kolmiku moodustamiseks?
Vastused
  1. Lõppvooru pääses  laulu.
  2. Lõppvooru pääses  eesti­keelset ja  inglise­keelset laulu.
  3. Võidab ingliskeelne laul .
    Jääb kolmandaks saksakeelne laul .
  4. Selliste kolmikute moodustamiseks on  võimalust.

Karbis on rohelised ja punased pliiatsid, kokku 27 pliiatsit. Valides juhuslikult ühe pliiatsi, on punase pliiatsi saamise tõenäosus \frac{4}{9}.

  1. Mitu punast ja mitu rohelist pliiatsit on karbis?
  2. Arvutage järgmiste sündmuste tõenäosus:
    1. üks juhuslikult võetud pliiats on roheline;
    2. kaks juhuslikult võetud pliiatsit on mõlemad punased.
Vastused
  1. Karbis on  punast ja  rohelist pliiatsit.
  2. Tõenäosus, et juhuslikult võetakse roheline pliiats  .
    Tõenäosus, et juhuslikult võetud 2 pliiatsit on punased.

Poes on müügil melonid kolmest riigist – Hispaaniast, Kreekast ja Marokost. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on 5 Hispaanias, 7 Kreekas ja 3 Marokos kasvatatud melonit.

Leidke tõenäosus, et

  1. üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Marokos;
  2. üks juhuslikult kasvatatud melon ei ole pärit Hispaaniast;
  3. kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Kreekas.
Vastused
Lisää aiheesta
Muut toiminnot