Integreerimine muutuja vahetuse võttega

Integreerimine on oluliselt keerulisem kui diferentseerimine. Praegu ei oska me veel integreerida liit­funktsioone, mida diferentseerida oskame. Näiteks teame, et [cos(3x − 5)]' = −3sin(3x − 5), kuid ei oska leida \int \cos\left(3x-5\right)dx.

Järgnevas vaatlemegi veel ühte integreerimise võtet – muutuja vahetuse võtet.

Näide 1.

Et leida \int \cos\left(3x-5\right)dx, võtame kasutusele abi­muutuja, mille tähistame näiteks tähega u. Seega u = 3x – 5. Nüüd ei ole funktsiooni argument enam x, vaid on u. Seega peab integraali märgi all argumendi diferentsiaali dx asendama uue argumendi diferentsiaaliga. Muutuja u diferentsiaali leiame võrdusest u = 3x – 5:

du=\left(3x-5\right)^'dx ehk du=3dx ja seega dx=\frac{du}{3}.

Nüüd võime esi­algse ülesande esitada kujul

\int \cos\left(3x-5\right)dx = \int \cos u\cdot\frac{du}{3} = \int \frac{\cos u}{3}du.

Viimast integraali aga oskame leida: \int \frac{\cos u}{3}du = \frac{1}{3}\int \cos u\ du = \frac{1}{3}\sin u+C.

Minnes tagasi esi­algsele muutujale x, saame

\int \cos\left(3x-5\right)dx = \frac{1}{3}\int \cos u\ du = \frac{1}{3}\sin u+C = \frac{1}{3}\sin\left(3x-5\right)+C.

Vastus. \int \cos\left(3x-5\right)dx=\frac{1}{3}\sin\left(3x-5\right)+C.

Kontrollige vastuse õigsust diferentseerimise teel.

Näide 2.

Leiame \int \left(2x+1\right)^5dx.

Teeme asenduse u = 2x + 1. Siis du = (2x + 1)′ dx ehk du = 2dx ja dx=\frac{du}{2}.

Seega \int \left(2x+1\right)^5dx = \int \frac{1}{2}u^5du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6}+C = \frac{\left(2x+1\right)^6}{12}+C.

Vastus. \int \left(2x+1\right)^5dx=\frac{\left(2x+1\right)^6}{12}+C.

Näidetes 1 ja 2 on muutuja vahetusega integreeritud liit­funktsioone, mille argumendiks on lineaar­funktsioon, s.o funktsioon f (ax + b). Järgnevas kasutame muutuja vahetust ka muude liit­funktsioonide integreerimisel.

Näide 3.

Leiame \int xe^{x^2}dx.

Teeme asenduse u = x2, siis du = (x2)' dx = 2xdx ja

\int xe^{x^2}dx = \int e^u\cdot\frac{du}{2} = \frac{e^u}{2}+C = \frac{e^{x^2}}{2}+C.

Vastus. \int xe^{x^2}dx=\frac{e^{x^2}}{2}+C.

Näide 4.

Leiame \int \sin^2x\cos x\ dx.

Asendame liit­funktsioonis seesmise funktsiooni sin x uue muutujaga u. Siis u = sin x ja du = cos x dx ning

\int \sin^2x\cos x\ dx = \int u^2du = \frac{u^3}{3}+C = \frac{\sin^3x}{3}+C.

Vastus. \int \sin^2x\cos x\ dx=\frac{\sin^3x}{3}+C.

Näide 5.

Leiame \int \frac{2x}{x^2+5}dx. Asendame u = x2 + 5. Siis du = 2xdx ja

\int \frac{2x}{x^2+5}dx = \int \frac{du}{u} = \ln\left|u\right|+C = \ln\left|x^2+5\right|+C = \ln\left(x^2+5\right)+C.

Vastus. \int \frac{2x}{x^2+5}dx=\ln\left(x^2+5\right)+C.

Näide 6.

Leiame \int \tan x\ dx.

Teisendame eelnevalt integreeritavat avaldist: \int \tan x\ dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx ja asendame u = cos x.

Siis du = –sin x dx ja \int \frac{\sin x}{\cos x}dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln\left|u\right|+C = -\ln\left|\cos x\right|+C.

Vastus. \int \tan x\ dx=-\ln\left|\cos x\right|+C.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 40. Integreerimine muutuja vahetuse võttega

\int \sin\frac{x}{2}dx = 

\int e^{-3x}dx = 

\int \cos3x\ dx = 

\int \left(3-2x\right)^4dx = 

\int \sqrt{4x-1}dx = 

\int \sqrt[3]{5-6x}\ dx = 

\int \frac{dx}{\cos^2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} = 

\int \frac{dx}{\sin^23x} = 

\int \frac{dx}{5-2x} = 

\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x}} = 

\int \sin\left(ax+b\right)dx = 

\int \frac{dx}{3x+4} = 

Ülesanne 41. Näidete uurimine

Peatükk 1.4

Ülesanne 42. Näidete uurimine

Peatükk 1.4

Millega võrdub \int \frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx?

\int \frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx = 

Ülesanne 43. Integreerimine muutuja vahetuse võttega

\int x\sqrt{x^2+1}dx = 

\int x^2\sqrt[3]{x^3-1}dx = 

\int \cos^3x\ \sin x\ dx = 

\int \sin^5x\cos x\ dx = 

\int 2^{x^2-1}xdx = 

\int e^{x^3}x^2\ dx = 

\int e^{\sin x}\cos x\ dx = 

\int x^2\sqrt{1-x^3}dx = 

\int \left(3x^2+1\right)\left(x^3+x-2\right)^4dx = 

Ülesanne 44. Integreerimine

\int \frac{x}{x^2+4}dx = 

\int \frac{2x-1}{x^2-x}dx = 

\int \cot x\ dx = 

\int \frac{4x^3}{x^4-6}dx = 

\int \frac{-3x}{1+4x^2}dx = 

\int \frac{\cos x}{2-4\sin x}\ dx = 

\int \frac{\sin x}{1+3\cos x}dx = 

\int \frac{\cos x}{2\sin x-1}dx = 

\int \frac{3x^2+4x}{x^3+2x^2+3}dx = 

Ülesanne 45. Integreerimine

\int \frac{dx}{6-5x} = 

\int x^3\cdot3^{x^4}dx = 

\int \sqrt[3]{7x+8}\ dx = 

\int \frac{dx}{\tan x} = 

\int \left(12x^2-5\right)^4xdx = 

\int \cos\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\ dx = 

\int e^{-4x+5}dx = 

\int xe^{x^2+4}dx = 

\int \frac{x+3}{x^2+6x+9}dx = 

\int \frac{x-5}{x^2-3x-10}dx = 

\int \frac{x-2}{x^2-4x+4}dx = 

\int \frac{\cos x}{\sin^4x}dx = 

\int \sin^23x\ dx = 

\int \tan^22x\ dx = 

\int \sin x\cos x\ dx = 

Ülesanne 46. Alg­funktsioon

Vastus. F (x) = 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot