Otspunktidega määratud vektori koordinaadid

Rakendame nüüd vektoreid selliste probleemide lahendamisel, kus geomeetrilised kujundid on antud oma tippude koordinaatidega. Selleks peame oskama leida vektori koordinaate tema otspunktide koordinaatide kaudu.

Joon. 2.47

Leiame vektori \overrightarrow{AB} koordinaadid, kui A(x₁; y₁; z₁) ja B(x₂; y₂; z₂). Selleks avaldame vektori \overrightarrow{AB} tema otspunktide kohavektorite kaudu (joon. 2.47):\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.Et punkti kohavektori koordinaadid ühtivad punkti koordinaatidega, siis\overrightarrow{OA}=\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja \overrightarrow{OB}=\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right).Seega\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \left(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\right).

Otspunktidega määratud vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti vastavate koordinaatide vahedena.

Kui A\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja B\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right), siis

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

Kasutame saadud tulemust lõigu pikkuse arvutamisel. Olgu antud lõik otspunktidega A\left(x_1;\ y_1;\ z_1\right) ja B\left(x_2;\ y_2;\ z_2\right). Leiame valemi selle lõigu pikkuse arvutamiseks. Punktid A ja B määravad vektori \overrightarrow{AB}, mille pikkus ongi lõigu AB pikkuseks. Et \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1\right), siis

$| A B | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ .

Kahe punkti vaheline kaugus võrdub ruutjuurega nende punktide vastavate koordinaatide vahede ruutude summast.

Kollineaarseteks punktideks nimetatakse punkte, mis asuvad ühel ja samal sirgel.

Näide 1.

Kontrollime, kas punktid A(1; –1; 0), B(–1; 0; 1) ja C(5; –3; –2) on kollineaarsed.

Vaadeldavad punktid asuvad samal sirgel, kui vektorid \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AC} on kollineaarsed (joon. 2.48). Seega peame kontrollima vektorite \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AC} kollineaarsust. Leiame esmalt vektorite \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AC} koordinaadid:

\overrightarrow{AB}=\left(-2;\ 1;\ 1\right) ja \overrightarrow{AC}=\left(4;\ -2;\ -2\right).

Et leitud koordinaadid on võrdelised \left(\frac{-2}{4}=\frac{1}{-2}=\frac{1}{-2}\right), siis on \overrightarrow{AB}\ \parallel\ \overrightarrow{AC}.

Seega punktid A, B ja C asuvad samal sirgel.

Joon. 2.48

Vastus. Punktid A, B ja C asuvad ühel ja samal sirgel.

Näide 2.

Kolmnurk on antud oma tippudega D(2; 2; 3), E(5; 2; 7) ja F(19; 2; 9). Leiame selle kolmnurga pindala.

Kasutame kolmnurga pindala valemit S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma. Leiame esmalt vektorite \overrightarrow{ED} ja \overrightarrow{EF} pikkused ning nende vektorite vahelise nurga siinuse.

\overrightarrow{ED}=\left(-3;\ 0;\ -4\right), seega \left|\overrightarrow{ED}\right|=\sqrt{9+16}=5.

Samuti leiame, et \overrightarrow{EF}=\left(14;\ 0;\ 2\right) ja \left|\overrightarrow{EF}\right|=\sqrt{196+14}=10\sqrt{2}.

Kuna \cos\angle\left(\overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{EF}\right) = \frac{\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EF}}{\left|\overrightarrow{ED}\right|\cdot\left|\overrightarrow{EF}\right|} = \frac{-42+0-8}{50\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ja \sin\mathrm{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2\mathrm{\alpha}}, siis \sin\angle\left(\overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{EF}\right) = \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (miks märkidest „±“ ei sobi märk „–“?).

Seega S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=25.

Vastus. Kolmnurga pindala on 25 ruutühikut.

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 533. Kollineaarsed punktid

Vastus. Need punktid ühel ja samal sirgel.

Ülesanne 534. Kolmnurga tipud

Vastus. Need punktid olla kolmnurga tippudeks.

Ülesanne 535. Rööpkülik

A(–2; 2; 3), B(5; 5; 5), C(9; 6; 5) ja D(2; 3; 3)

Vastus. See nelinurk rööpkülik.

A(2; 0; 3), B(4; 4; 4), C(11; 7; 9) ja D(9; 3; 8)

Vastus. See nelinurk rööpkülik.

A(2; –2; 7), B(6; 5; 1), C(1; –1; 1) ja D(8; 0; 8)

Vastus. See nelinurk rööpkülik.

Ülesanne 536. Rööpkülik

A(2; 4; 1), B(3; –1; 3) ja C(4; –2; 3)

Joon. 2.49

Vastus. D()

A(5; 2; 4), B(2; –2; 1) ja C(3; 6; 2)

Joon. 2.49

Vastus. D()

Ülesanne 537. Lõigu otspunkti koordinaadid

Vastus. Lõigu teise otspunkti koordinaadid on.

Ülesanne 538. Kolmnurga tipud

Vastus. Antud kolmnurgaga sümmeetrilise kolmnurga tipud on A'(), B'() ja C'().

Ülesanne 539. Rööpküliku tipud

Joon. 2.49

Vastus. D(); C()

Ülesanne 540. Lõigu keskpunkti koordinaadid

A(2; 6; 3) ja B(–4; 2; 6)

Vastus. Lõigu AB keskpunkti koordinaadid on .

A(–3; 5; 2) ja B(8; –5; 7)

Vastus. Lõigu AB keskpunkti koordinaadid on .

Ülesanne 541. Lõigu keskpunkti koordinaadid

Ülesanne 542. Kollineaarsed vektorid

Antud on punkt A(1; 1; 1) ja vektor \vec{v}=\left(1;\ 2;\ 3\right). Leidke xy-tasandil selline punkt B, mille korral \vec{v}\ \parallel\ \overrightarrow{AB}.

Vastus. B()

Ülesanne 543. Kolmnurk

Vastus. See kolmnurk võrdhaarne.

Ülesanne 544. Punkti kaugus

Vastus. Sellise punkti koordinaadid on .

Ülesanne 545. Punkti kaugus

Vastus. Selle punkti koordinaadid on .

Ülesanne 546. Nurk sirgete vahel

Vastus. Nende sirgetevaheline nurk on .

Ülesanne 547. Nurk nelinurga diagonaalide vahel

Vastus. Selle nelinurga diagonaalidevaheline nurk on .

Ülesanne 548. Romb

Vastus. See nelinurk romb.

Ülesanne 549. Kolmnurk

Vastus. P = ; sisenurgad on , ja ; S = .

Ülesanne 550. Kolmnurkne püramiid

Vastus. S_t =

Ülesanne 551. Kollineaarsed punktid

Punktide A₁, A₂ ja A₃ kohavektorid on \vec{p}+\vec{q}, \vec{p}+2\vec{q} ja \vec{p}+3\vec{q} \left(\vec{q}\ne\vec{0}\right). Kas need punktid on kollineaarsed?

Vastus. Need punktid kollineaarsed.

Ülesanne 552. Kolmnurga raskuskese

A(2; 1; 4), B(5; 3; –1) ja C(2; –1; 6)

Vastus. Kolmnurga raskuskeskme koordinaadid on .

A(1; 2; 3), B(2; 3; 1) ja C(3; 1; 2)

Vastus. Kolmnurga raskuskeskme koordinaadid on .

Ülesanne 553. Täisnurkne kolmnurk

Vastus. See kolmnurk on täisnurkne, kui p ∈ {; ; ; }.

Ülesanne 554. Ristuva ühikvektori koordinaadid

Vastus. Nende punktidega määratud vektoritega ristuva ühikvektori koordinaadid on või .

Ülesanne 555. Risttahukas

Joon. 2.50

Vastus. x = ; y = ; z = ; V =