Eksponentvõrrandid

Logaritmimine
Sama alusega astmed
Võrrandi avaldise tegurdamine
Abimuutuja kasutamine

Astendaja leidmine

Oled juba tuttav operatsiooniga, mis võimaldas leida avaldises tundmatut sisaldava astendaja. Tuletame meelde, kuidas see käib.

Leiame võrdusest 3^4x = 10 muutuja x.

Astendaja leidmiseks logaritmime võrrandi mõlemad pooled kümnendlogaritmiga ja kasutame astme logaritmi omadust.

⋅log=log

Avaldame tundmatu x.

x = $\frac{1}{\log}$ ≈

Eksponentvõrrand

Võrrandit, milles tundmatu esineb ainult astendajas, nimetatakse eksponentvõrrandiks.

Märka

Kui astendaja leidmiseks on vaja kasutada taskuarvutit, siis tuleks logaritmida kümnend- või naturaallogaritmiga.
Täpse vastuse avaldamiseks kasuta logaritmi, mille alus on võrrandis esinev astme alus.

Еще на эту тему

Sama alusega astmed

Näide 1

Lahendame võrrandi 4^0,5x = 8^2x–1.

Üks lahendus

Et alused 4 ja 8 on kahe astmed, siis saame võrduse mõlemad pooled esitada kahe astmetena.

4^0,5x = (2²)^0,5x = 2^2⋅0,5x = 2^x

8^2x–1 = (2³)^2x–1 = 2^3(2x–1) = 2^6x–3

Seega saame võrrandi esitada kujul

2^x = 2^6x–3.

Kui alused on võrdsed, siis on võrdsed ka astendajad:

x = 6x–3,

millest x = 0,6.

Eksponentvõrrandi lahendeid ei pea kontrollima, kuid see on soovitatav.

Vastus

Võrrandi lahend on x = 0,6.

Teine lahendus

Logaritmime võrrandi pooli kahendlogaritmiga, sest alused on arvu kaks astmed.

log₂ 4^0,5x = log₂ 8^2x–1.

Kasutame logaritmi omadust.

0,5x ⋅ log₂ 4 = (2x–1) ⋅ log₂ 8

0,5x ⋅ 2 = (2x–1) ⋅ 3

x = 6x–3,

millest x = 0,6.

Jõudsime sama tulemuseni, mis lahenduses 1.

Vastus

Võrrandi lahend on x = 0,6.

Märka

Astme astendamisel astendajad korrutatakse:

(a^m)ⁿ = a^m^⋅ⁿ.

Negatiivne astendaja:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

0,2 ⋅ 10^2–x = 2^x ⋅ 5^x^–1.

Kuna 2 ⋅ 5 = 10, saame parema poole teisendada 10 astmeks.

$2^{x} \cdot 5^{x - 1} = 2^{} \cdot 5^{} \cdot 5^{} =$

$=^{x} \cdot$

Nüüd saame võrrandi esitada kujul

0,2 ⋅ 10^2–^x = 0,2⋅ 10^x.

Jagame võrrandi pooled teguriga ja võrdsustame astendajad.

2 – x = x, millest

x = .

Lahendit saab kontrollida.

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

2^x = 32, x =
$5^{y} = \frac{1}{25}$ , y =
49 = 7^2a, a =
$6^{t} = \sqrt{6},$ t =
100^3p = 0,1¹², p =
$16 = 8^{\frac{b}{3}},$ b =
25^3x = 125, x =
0,25³⁰ = 64^2z, z =

Еще на эту тему

Võrrandi avaldise tegurdamine

Mõtle kaasa

4²^x – 8^x = 3 ⋅ 2^3x.

Kõik astmed saab teisendada alusele 2.

$4^{2 x} = 2^{}$

$8^{x} = 2^{}$

Seega saame võrrandi esitada kujul

2^4x – 2³^x – 3 ⋅ 2^3x= 0.

Toome sulgude ette teguri 2^3x, saame

$2^{3 x} (2^{x} -) = 0 .$

Järelikult,

2³^x = 0 või 2^x – 4 = 0.

Esimesel võrrandil ei ole lahendeid, sest 2^3x on rangelt positiivne x kõigi väärtuste korral.
Jääb 2^x – 4 = 0,
millest x = .
Lahendit saab kontrollida.

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

12^x – 8 ⋅ 3^x – 2^2x + 8 = 0.

Lahendus

Teisendame esimest liiget:

$12^{x} = {(3 \cdot)}^{} = 3^{} \cdot^{} .$

Rühmitame liikmed ja toome ühise teguri sulgude ette.

3^x ⋅ 4^x – 8 ⋅ 3^x – 4^x + 8 = 0

$^{} (4^{x} -) - (4^{x}) = 0$

$(4^{x} - 8) (3^{x} - 1) = 0$

Leidsime võrrandi tegurdatud kuju, seega

1) 4^x – 8 = 0

$2^{} = 2^{}$

x₁ =

2) 3^x – 1 = 0

3^x = 1

x₂ =

Lahendeid saab kontrollida.

Vastus

Võrrandi lahendid on x₁ = 1,5 ja x₂ = .

Märka

Korrutis saab olla null vaid siis, kui vähemalt üks teguritest on null.

Esimene võrrand

9 ⋅ 3²^x – 27^x = 0

$3^{} (- 3^{x}) = 0$

x =

Teine võrrand

2 ⋅ 5³^x = 10 ⋅ 5²^x

$5^{} (10 - \cdot^{x}) = 0$

x =

Еще на эту тему

Abimuutuja kasutamine

Mõtle kaasa

8 ⋅ 4^x – 6 ⋅ 2^x + 1 = 0.

Lahendus

Toome sisse uue muutuja 2^x = t.

Sel juhul 4^x = 2²^x = t²ja saame ruutvõrrandi

8t² – 6t + 1 = 0,

mille lahendid on

t₁ = ja t₂ = .

Nüüd lahendame eksponentvõrrandid

1) 2^x = 0,25

x₁ =

2) 2^x = 0,5

x₂ =

Vastus

Võrrandi lahendid on x₁ = ja x₂ = .

9^x – 6^x = 2 ⋅ 4^x.

Lahendus

Teisendame.

6^x = (2 ⋅)^x = $2^{} \cdot^{}$

9^x = (^x)²ja4^x = (^x)²

Jagame kõik võrrandi liikmed 4^x-ga.

$\frac{9^{x}}{4^{x}} - \frac{3^{x}}{2^{x}} - 2 = 0$

Tähistame

$\frac{3^{x}}{2^{x}} = {(\frac{3}{2})}^{x} = v,$ siis $\frac{9^{x}}{4^{x}} = {(\frac{3}{2})}^{2 x} = v^{2} .$

Saame ruutvõrrandi v² – v – 2 =0, millest

v₁ = ja v₂ =.

Lahend ei sobi, järelikult

${(\frac{3}{2})}^{x} = 2$ ja $x = \log_{\frac{3}{2}} 2 .$

Vastus

Võrrandi kümnendikeni ümardatud lahend on x ≈ .

4^x+1 – 4^x–1 = 60

Lahendus

Teisendame astendajas oleva summa astmete korrutiseks.

4^x ⋅ – 4^x ⋅ 4^–1 = 60

Vahetame muutuja ja lihtsustame võrrandi vasakut poolt.

t = 60, millest t = .

Kuna 4^x = t,

siis 4^x = 16 ja x = .

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

Ülesande saab lahendada ka abimuutujat kasutamata.

Märka

Korrutise astendamine

(a⋅ b)ⁿ = aⁿ⋅ bⁿ

Ruutvõrrandi lahendivalem

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Esimene võrrand

2²^x – 6 ⋅ 2^x + 8 = 0

Lahendid

1) 2^x =

x₁ = 1

2) 2^x =

x₂ =

Teine võrrand

3 ⋅ 3^2x – 8 ⋅ 3^x – 3 = 0

Lahendid

Ruutvõrrandi lahenditest sobib vaid üks.

3^x = , millest x = .

Еще на эту тему

Harjuta ja treeni

Märkus

Et kasutada interaktiivseid graafikuid, tuleb võrrand teisendada kujule a^x = b.

2^x = 7, siis x ≈ .
${(\frac{1}{4})}^{x} = 8$ , siis x = .
3^2x = 4, siis x ≈ .
4^–x + 1 = 4, siis x ≈ .
2 ⋅ 10^x = 12, siis x ≈ .
${(\frac{25}{4})}^{x} = 9,$ siis x ≈ .
${(\frac{4}{3})}^{- x} - 5 = 0,$
siis x ≈ .
3 ⋅ 0,25^–x – 9 = 0,
siis x ≈ .

Ülesande „Graafiline lahendamine“ joonis

${(\frac{1}{3})}^{x - 1} = \frac{1}{27}$
Lahendada tuleb lineaarvõrrand
x – 1 = ,
kust saame, et x = .
7^3–2^x = 49^x

Lahendada tuleb lineaarvõrrand
3 – 2x =,
kust saame, et x =.
$0, 4^{2 x} = {(2 \frac{1}{2})}^{2 x + 4}$
Lahendada tuleb lineaarvõrrand
2x = ,
kust saame, et x =.
${(\frac{16}{9})}^{x} = {(\frac{3}{4})}^{5}$
Lahendada tuleb lineaarvõrrand
= 5,
kust saame, et x = .
5^x–1 = 1
Lahendada tuleb lineaarvõrrand
x – 1 = ,
kust saame, et x = .

$\sqrt[3]{3^{3 x - 7}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
Lahendada tuleb võrrand
3x – 7 = ,
kust saame, et x =.
${(\frac{7}{20})}^{\sqrt{x} - 3} = {(\frac{400}{49})}^{5 - \sqrt{x}}$
Lahendada tuleb võrrand
$\sqrt{x} =$ ,
kust saame, et x = .
3^x ⋅ 3^x^–2 = 9^5–^x
Lahendada tuleb võrrand
=10 –,
kust saame, et x = .
5 ⋅ 5⁵^x+² = 25^x
Lahendada tuleb võrrand
5x + = ,
kust saame, et x =
$\frac{3^{5 x + 1}}{9^{x}} = 81 \cdot 3^{2 x}$
Lahendada tuleb võrrand
5x + 1 – = + 2x,
kust saame, et x = .

9 ⋅ 16^x – 2 ⋅ 16^2x = 4

Pärast muutuja vahetust a = 16^x tuleb lahendada ruutvõrrand

–2a² – 9a + 4 = 0.
2a² – 9a + 4 = 0.
2a² – 9a – 4 = 0.

a₁ = ja a₂ =

Vastus

Võrrandi lahendid on

x₁ = ja x₂ = .

3 ⋅ 25^x – 14 ⋅ 5^x – 5 = 0

Pärast muutuja vahetust a = 5^x tuleb lahendada ruutvõrrand

14a² – 3a + 5 = 0.
a² – 14a – 5 = 0.
3a² – 14a – 5 = 0.

a₁ = ja a₂ = –0,(3)

Vastus

Võrrandi ainuke lahend on

x = .

3^x⁺² + 3^x = 30
t = 30
t =
x =
9 ⋅ 5^x⁺¹ – 5^x = 5500
t = 5500
t =
x =

f(x) = 2^x^–2 ja g(x) = 0,5^x.

Lahenda võrrand f(x) = g(x).
Vastus. x =.
Nende funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid on
(;).

f(x) = 9^x– 3ja g(x) = 6^x.

Lahenda võrrand f(x) = g(x).
Vastus. x =.
Nende funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid on
(;).

f(x) = 5^x+1+ 3ja g(x) = 4^–^x.

Lahenda võrrand f(x) = g(x).
Vastus. x =.
Nende funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid on
(;).

f(x) = 3 ⋅ 2^x+ 1ja g(x) = 10^x.

Lahenda võrrand f(x) = g(x).
Vastus. x ≈.
Nende funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaadid on
(;).

„Funktsioon 1–4“ joonis

On antud funktsioonid

f(x) = 2²^x – 2^x ja g(x) = 0,25^1–^x + 1.

Lahenda võrrand f(x) = g(x).
Teisenda funktsioon g(x) kujule g(x) = c ⋅ a^x + b ja kasuta interaktiivsed joonist.
$g (x) = \cdot^{x} +$
Võrrandi lahend
x =
Lahenda võrrandisüsteem $\{\begin{cases} y = f (x) \\ y = 2 g (x) + 2 \end{cases} .$
Süsteemi lahend
$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$

„Funktsioon 5“ joonis

Funktsioonide 2f(x) ja f(2x) graafikute lõikepunkti täpsed koordinaadid on

(; ).

Võrrandi f(2x) – 2 = 0 lahend x =

0.
1.
2.
ln2.
0,5ln2.
–ln2.

Funktsiooni f(x) graafik on
ja g(x) graafik on .
Võrrandi f(x) = g(x).
lahend x = .
Anna kordajatele sobivad väärtused ja lahenda joonise abil võrrandid.

2f(x) = g(2x)
Ligikaudne lahendx ≈ .

f(2x) = 2g(x)
Ligikaudne lahendx ≈ .

Ülesande „Arv e võrrandis“ joonis

Еще на эту тему

Услугу осуществляет Star Cloud OÜ

Присоединиться к Opiq

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Eksponent­võrrandid

Еще на эту тему

Astendaja leidmine

Eksponentvõrrand

Märka

Еще на эту тему

Sama alusega astmed

Näide 1

Üks lahendus

Vastus

Teine lahendus

Vastus

Märka

Vastus

Еще на эту тему

Võrrandi avaldise tegurdamine

Mõtle kaasa

Vastus

Lahendus

Vastus

Märka

Esimene võrrand

Teine võrrand

Еще на эту тему

Abimuutuja kasutamine

Mõtle kaasa

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Märka

Esimene võrrand

Lahendid

Teine võrrand

Lahendid

Еще на эту тему

Harjuta ja treeni

Märkus

Ülesande „Graafiline lahendamine“ joonis

Vastus

Vastus

„Funktsioon 1–4“ joonis

„Funktsioon 5“ joonis

Ülesande „Arv e võrrandis“ joonis

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie

Eksponentvõrrandid