Преобразование рациональных выражений

Какое выражение называется рациональным выражением? целым выражением? алгебраической дробью?
Как найти соответствующие значения выражений?
Какие выражения с переменными называются равными?

Как связан полученный результат с задуманными числами?
Проверь, верна ли твоя гипотеза для других пар чисел!
Представь полученный результат в виде равенства соответствующих выражений.
При каких дополнительных условиях это равенство будет тождеством?

Мы изучили сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей. Теперь научимся упрощать выражения с переменными, при составлении которых использованы упомянутые действия и скобки. Чтобы упростить таке выражение, нужно выполнить все действия, учитывая порядок их выполнения, и привести выражение к виду алгебраической дроби. Если возможно, то эту дробь нужно сократить. Если знаменатель полученной сокращенной дроби окажется равным 1, то результат записывают без дробной черты.

$(\overset{9 a}{1} - \frac{4}{9 a}) : (\overset{4}{\frac{7}{6 a^{2}}} - \overset{3 a}{\frac{21}{8 a}})$ = $\frac{9 a - 4}{9 a} : \frac{28 - 63 a}{24 a^{2}}$ = $\frac{(9 a - 4) \cdot 24 a^{2}}{9 a \cdot 7 (4 - 9 a)}$ = $\frac{- \overset{1}{(4 - 9 a)} \cdot \overset{8}{24} \overset{a}{a^{2}}}{\underset{3}{9} \underset{1}{a} \cdot 7 \underset{1}{(4 - 9 a)}}$ = $- \frac{8 a}{21}$

$(\overset{a}{\frac{1}{b}} - \frac{2}{a b}) (\frac{2}{a - 2} + \frac{a - 4}{a^{2} - 4})$ = $\frac{a - 2}{a b} (\overset{a + 2}{\frac{2}{a - 2}} + \frac{a - 4}{(a - 2) (a + 2)})$ = $\frac{a - 2}{a b} \cdot \frac{2 a + 4 + a - 4}{(a - 2) (a + 2)}$ = $\frac{\overset{1}{(a - 2)} 3 \overset{1}{a}}{\underset{1}{a} b \underset{1}{(a - 2)} (a + 2)}$ = $\frac{3}{b (a + 2)}$

Не забывай о порядке выполнения действий!

$\frac{1}{a + b} + \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{1}{a + b} + \frac{2 \overset{1}{b} \overset{1}{(a - b)}}{\underset{1}{(a - b)} (a + b) a \underset{1}{b}}$ = $\overset{a}{\frac{1}{a + b}} + \frac{2}{(a + b) a}$ = $\frac{a + 2}{a (a + b)}$

$(\frac{1}{a + b} + \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}) \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $[\overset{a - b}{\frac{1}{a + b}} + \frac{2 b}{(a + b) (a - b)}] \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{a - b + 2 b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{a b}$ = $\frac{\overset{1}{(a + b)} \overset{1}{(a - b)}}{\underset{1}{(a + b)} \underset{1}{(a - b)} a b}$ = $\frac{1}{a b}$

$(\frac{x y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{y - x}) : (\overset{x + y}{x - y} + \frac{4 y^{2} - x^{2}}{x + y})$ = $[\frac{x y}{(x - y) (x + y)} - \overset{x + y}{\frac{y}{x - y}}] : \frac{x^{2} - y^{2} + 4 y^{2} - x^{2}}{x + y}$ = $\frac{x y - y (x + y)}{(x - y) (x + y)} \cdot \frac{x + y}{3 y^{2}}$ = $\frac{- \overset{1}{y^{2}} \cdot \overset{1}{(x + y)}}{(x - y) \underset{1}{(x + y)} \cdot 3 \underset{1}{y^{2}}}$ = $- \frac{1}{3 (x - y)}$ = $\frac{1}{3 (y - x)}$

При упрощении старайся найти наиболее рациональный путь!

$(\frac{a - 1}{a^{2} + 2 a - 3} + \frac{a}{3 a + 9}) \cdot (a + \frac{3 a - 6}{a - 2})$ = $[\frac{\overset{1}{a - 1}}{\underset{1}{(a - 1)} (a + 3)} + \frac{a}{3 (a + 3)}] \cdot [a + \frac{3 \overset{1}{(a - 2)}}{\underset{1}{a - 2}}]$ = $[\overset{3}{\frac{1}{a + 3}} + \frac{a}{3 (a + 3)}] \cdot (a + 3)$ = $\frac{(3 + a) \overset{1}{(a + 3)}}{3 \underset{1}{(a + 3)}}$ = $\frac{a + 3}{3}$

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 1)$ = $(x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} - (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{x + 1} + (x^{2} - 1) \cdot 1$ = $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} - \frac{x^{2} - 1}{x + 1} + x^{2} - 1$ = $x + 1 - (x - 1) + x^{2} - 1$ = $x^{2} + 1$

Еще на эту тему

Упражнения A

$(\frac{2 a}{3} + \frac{4}{b}) \cdot \frac{5 b}{4 a}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{3 u}{4 v} - \frac{5 u}{12 v}) : \frac{8 u^{2}}{3 v}$ = $\frac{}{}$

$(2 - \frac{4}{5 a}) : \frac{4}{5 a^{2}}$ = $\frac{}{}$

$(4 + \frac{2}{7 x}) : \frac{2}{35 x y}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a}{4 b} + \frac{1}{4}) \cdot 2 (a - b)$ = $\frac{}{}$

$x (x - y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{y}{6 x} + \frac{3 y}{2 x}) \cdot \frac{3 x}{4 y}$ = $\frac{}{}$

$\frac{a^{2} + 2}{a b} \cdot (\frac{5 a}{6 b} - \frac{a}{3 b})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{m^{2}}{5 n^{2}} - \frac{2 m}{15 n}) : \frac{3 m^{2} - 2 m n}{4 n^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{2 a}{3 b^{2}} : (\frac{2 a}{3 b} - \frac{a}{6 b})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{b - a}{a b}$ = $\frac{}{}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x y} : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x}{x + 1} + 1) \cdot \frac{1 + x}{2 x + 1}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{4 a}{2 - a} - 2) : \frac{a + 2}{a - 2}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x - 2}{x - 3} \cdot (x + \frac{x}{2 - x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{5 a^{2}}{1 - a^{2}} : (1 - \frac{1}{1 - a})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}) \cdot (a^{2} - 1)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a - 3}{a + 3} + \frac{a + 3}{a - 3}) \cdot (a^{2} - 9)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{2 m + 1}{2 m - 1} - \frac{2 m - 1}{2 m + 1}) : \frac{4 m}{10 m - 5}$ = $\frac{}{}$

$\frac{m + 3}{m^{2} + 9} \cdot (\frac{m + 3}{m - 3} + \frac{m - 3}{m + 3})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{6 x + 1}{x^{2} - 6 x} + \frac{6 x - 1}{x^{2} + 6 x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{5 x + y}{x^{2} - 5 x y} + \frac{5 x - y}{x^{2} + 5 x y}) : \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - 25 y^{2}}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{4 x + y}{16 x^{2} - y^{2}} - \frac{2 x}{y - 4 x}) : (4 x + 2)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a - 2 b}{a^{2} - 4 b^{2}} + \frac{2 a}{2 b + a}) (2 b + a)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x - 3}{x^{2} - x - 6} + \frac{x^{2} - x - 6}{x + 2}) : (x^{2} - x - 5)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a - 3} + \frac{a^{2} - 9}{a + 3}) : \frac{a^{2} - 6 a + 10}{a - 3}$ = $\frac{}{}$

$(x^{2} - 1) (\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x + 1})$ =

$(a^{2} - b^{2}) (\frac{1}{a + b} + \frac{a + b - 1}{a^{2} - b^{2}})$ =

$\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$ = $\frac{}{}$

$\frac{1 - 2 m}{2 m + 1} + \frac{m^{2} + 3 m}{4 m^{2} - 1} : \frac{3 + m}{4 m + 2}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}) : \frac{4 x y}{y^{2} - x^{x}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{{(x + 2 y)}^{2}}{4 y^{2}} \cdot (\frac{x - 2 y}{x^{2} + 2 x y} - \frac{x - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} + a^{2}}{x^{2} - a^{2}} : (\frac{x + a}{a} - \frac{x - a}{x})$ = $\frac{}{}$

$(x + 1 - \frac{1}{1 - x}) : \frac{x}{1 - x}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{a^{2}}{a + b} - \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} + 2 a b}) : \frac{a b}{b^{2} - a^{2}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{b}{b^{2} - 4 a^{2}} : (\frac{2 a}{2 a + b} - \frac{4 a^{2}}{4 a^{2} + 4 a b + b^{2}})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x - 3}{x^{2} - x - 6} + \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}) \cdot \frac{x - 3}{4 x^{2} - 1}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}) : \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{}{}$

Какой результат получается, независимо от выбора чисел?
Докажи свое предположение.
При каких дополнительных условиях полученное равенство будет тождеством?

$(\frac{1}{3} - \frac{a + 3}{3 a}) \cdot (a - 1)$ = $\frac{}{}$

Если a = 0,5, то значение выражения равно .

$(\frac{a - 1}{a + 1} - \frac{a + 1}{a - 1}) \cdot \frac{2 a - a^{2} - 1}{4 a}$ = $\frac{}{}$

Если a = 1,5, то значение выражения равно .

$(\frac{x - 4}{x + 1} - \frac{x - 5}{x^{2} - 1}) : \frac{x - 3}{2 x^{2} - 2}$ =

Если x = –2,5, то значение выражения равно

Автомобиль проехал сначала а км со скоростью $v \frac{км}{ч}$ , а остальную часть пути – со скоростью, на 20% больше первоначальной. Найди упрощенный вид формулы для вычисления времени, затраченного на весь путь.

Найди это время, если расстояние между городами равно 180 км и скорость автомобиля на первом участке пути длиной 60 км была $75 \frac{км}{ч}$ .

Ответ: на путь уйдет примерно ч времени.

Найди формулу, по которой можно вычислить площадь участка земли (вне огорода), на котором коза может щипать траву. Упрости полученную формулу.
При каком допустимом значении b эта площадь будет наибольшей? Найди также формулу для вычисления такой площади.

Какова наибольшая площадь участка, на котором может кормиться коза, если сторона огорода равна 4 м?

Ответ: наибольшая площадь такого участка равна π м².

Еще на эту тему

Упражнения Б

$(\frac{1}{b} + \frac{2}{a - b}) (a - \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b})$ =

$(x + y - \frac{2 x y}{x + y}) : (\frac{x - y}{x + y} + \frac{y}{x})$ =

$(1 + a - \frac{1}{1 - a}) : (a - \frac{a^{2}}{a - 1})$ =

$(2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}) : (2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{x y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{y}{y - x}) : (x - y + \frac{4 y^{2} - x^{2}}{x + y})$ = $\frac{}{}$

$(2 a + b - \frac{3 a^{2}}{2 a - b}) (\frac{2}{a + b} + \frac{b}{a^{2} - b^{2}})$ = $\frac{}{}$

Порядок выполнения действий!

$(\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}}) : (\frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}}) : \frac{y}{x - y} - \frac{y}{y - x}$ = $\frac{}{}$

$\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}} : (\frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{1}{x + y} + \frac{y}{x^{2} - y^{2}} : \frac{y}{x - y} - \frac{1}{y - x}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{2 x}{x + 2} + \frac{2 x}{6 - 3 x} + \frac{8 x}{x^{2} - 4}) : \frac{x + 4}{x - 2}$ = $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} (x - 2)}{4 x^{2} + 16 x + 16} \cdot (\frac{x}{2 x - 4} + \frac{4 - x^{2}}{2 x^{2} - 8} + \frac{2}{x^{2} - 2 x})$ = $\frac{}{}$

$\frac{x}{x - b} - \frac{a b}{x - a} \cdot (\frac{x + a}{a x - a b} + \frac{x + b}{b^{2} - b x} + \frac{x}{a b})$ =

$(\frac{m - n}{m n} - \frac{3 m + n}{m n - m^{2}} + \frac{3 n + m}{m n - n^{2}}) : \frac{2 m + 2 n}{m n} + \frac{2 m}{n - m}$ =

$(\frac{a + b}{2 a - 2 b} - \frac{a - b}{2 a + 2 b} - \frac{2 b^{2}}{b^{2} - a^{2}}) (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$ = $\frac{}{}$

$(\frac{b^{2} + 9}{27 - 3 b^{2}} + \frac{b}{3 b + 9} - \frac{3}{b^{2} - 3 b}) : \frac{{(3 b + 9)}^{2}}{3 b^{2} - b^{3}}$ = $\frac{}{}$

$(\frac{3 x - 1}{3 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{x + 3}{3 x^{2} + 8 x - 3}) \cdot (\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2 x} - 2)$ = $\frac{}{}$

$(\frac{7}{2 x^{2} - 5 x - 3} - \frac{10}{3 x^{2} - 8 x - 3}) \cdot (x + \frac{1}{6 x + 5})$ = $\frac{}{}$

$\frac{b}{a - b} - \frac{a^{3} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \cdot (\frac{a}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b}{a^{2} - b^{2}})$ =

$(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x}) : \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x} + \frac{x}{6 - x}$ =

456.1 Упрощение рациональных выражений

Докажи тождество (письменно в тетради).

$\frac{2 a - b}{a b} - \frac{1}{a + b} (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = \frac{1}{b}$

456.2 Упрощение рациональных выражений

Докажи тождество (письменно в тетради).

$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a^{2} b}{a^{2} + b^{2}} \cdot (\frac{a}{a b + b^{2}} + \frac{b}{a^{2} + a b}) = \frac{a b}{a^{2} - b^{2}}$

456.3 Упрощение рациональных выражений

Докажи тождество (письменно в тетради).

$\frac{x}{x + y} - \frac{y}{y - x} - \frac{2 x y}{x^{2} - y^{2}} = (x - \frac{4 x y}{x + y} + y) : (x - y)$

Расстояние между двумя городами равно 255 км. Из этих городов одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля, один со средней скоростью $80 \frac{км}{ч}$ , а другой – $90 \frac{км}{ч}$ . Через сколько времени автомобили встретились?

Ответ: автомобили встретились через ч.

Найди формулу для решения предыдущей задачи, если расстояние между городами равно s км, а скорости автомобилей равны соответственно $v_{1} \frac{км}{ч}$ и $v_{2} \frac{км}{ч}$ _.

Основания a и b трапеции и ее высота h в метрах выражаются в виде $a = \frac{x + y}{x - y}$ ; $b = \frac{x - y}{x + y}$ и $h = \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ $(x > y > 0)$ . Вырази площадь трапеции и упрости полученную формулу.

Вычисли значение площади, если x = 0,7 и y = 0,6.

= (м²)

461.* Упрощение рациональных выражений

Докажи тождество (письменно в тетради).

$(\frac{b}{a + b} + a) (\frac{a}{a - b} - b) - (\frac{a}{a + b} + b) (\frac{b}{a - b} - a) = 2 a$

Еще на эту тему

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Преобразование рациональных выражений

Еще на эту тему

Упражнения A

Еще на эту тему

Упражнения Б

456.1 Упрощение рациональных выражений

456.2 Упрощение рациональных выражений

456.3 Упрощение рациональных выражений

461.* Упрощение рациональных выражений

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie