Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Единичные векторы \vec{i} и \vec{j} координатных осей взаимно перпендикулярны, следовательно:

\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{i}^2=1, \vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{j}^2=1, \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0.

Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов, выразим произведение \vec{a}\cdot\vec{b}, если векторы заданы своими координатами, т. е. \vec{a}=\left(X_1;\ Y_1\right), \vec{b}=\left(X_2;\ Y_2\right):

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left(X_1\vec{i}+Y_1\vec{j}\right)\cdot\left(X_2\vec{i}+Y_2\vec{j}\right) = X_1X_2\vec{i}\cdot\vec{i}+X_1Y_2\vec{i}\cdot\vec{j}+Y_1X_2\vec{j}\cdot\vec{i}+Y_1Y_2\vec{j}\cdot\vec{j} = X_1X_2+Y_1Y_2. ​​♦
​

  Если a→=(X1; Y1) и b→=(X2; Y2), то a→·b→=X1X2+Y1Y2.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Пример 1.

Если \vec{a}=\left(-7;\ 6\right) и \vec{b}=\left(2;\ -3\right), то \vec{a}\cdot\vec{b} = \left(-7\right)\cdot2+6\cdot\left(-3\right) = -14-18 = -32.

Выразим из определения скалярного произведения

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi,

величину cos φ:

cos φ=a→ · b→a→ · b→.

Заменив имеющиеся в этой формуле величины \vec{a}\cdot\vec{b}, \left|\vec{a}\right|, \left|\vec{b}\right| на соответствующие координатные выражения, мы получим формулу:

cos φ=X1X2 + Y1Y2X12 + Y12 · X22 + Y22,

позволяющую вычислять угол между векторами.

Пример 2.

Найдем угол φ между векторами \vec{a}=\left(5;\ -7\right) и \vec{b}=\left(-3;\ -1\right).

На основании формулы для вычисления cos φ получим:

\cos\varphi = \frac{5\cdot\left(-3\right)+\left(-7\right)\cdot\left(-1\right)}{\sqrt{5^2+\left(-7\right)^2}\cdot\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-1\right)^2}} = \frac{-8}{\sqrt{74}\cdot\sqrt{10}} ≈ -0,2941.

С помощью калькулятора получим, что угол между векторами \varphi\approx107°6'.

\vec{a}=\left(3;\ -4\right) и \vec{b}=\left(0;\ -5\right)
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{r}=\left(0;\ 8\right) и \vec{s}=\left(0;\ -1\right)
\vec{r}\cdot\vec{s} = 

\vec{m}=\left(-10;\ -11\right) и \vec{n}=\left(1;\ 1\right)
\vec{m}\cdot\vec{n} = 

\vec{u}=\left(-3;\ 5\right) и \vec{v}=\left(0;\ 5\right)
\vec{u}\cdot\vec{v} = 

\vec{c}=\left(1;\ -3\right) и \vec{d}=\left(1;\ -3\right)
\vec{c}\cdot\vec{d} = 

\vec{x}=\left(4;\ 0\right) и \vec{y}=\left(-5;\ 7\right)
\vec{x}\cdot\vec{y} = 

\vec{g}=\left(0;\ 8\right) и \vec{h}=\left(5;\ 0\right)
\vec{g}\cdot\vec{h} = 

\vec{k}=\left(6;\ -9\right) и \vec{r}=\left(6;\ 4\right)
\vec{k}\cdot\vec{r} = 

\vec{p}=\left(0,8;\ -0,6\right) и \vec{q}=\left(0,96;\ 0,28\right)
\vec{p}\cdot\vec{q} = 

\vec{a}=\left(3;\ -4\right) и \vec{b}=\left(0;\ -5\right)
φ = 

\vec{r}=\left(0;\ 8\right) и \vec{s}=\left(0;\ -1\right)
φ = 

\vec{m}=\left(-10;\ -11\right) и \vec{n}=\left(1;\ 1\right)
φ = 

\vec{u}==\left(-3;\ 5\right) и \vec{v}=\left(0;\ 5\right)
φ = 

\vec{c}=\left(1;\ -3\right) и \vec{d}=\left(1;\ -3\right)
φ = 

\vec{x}=\left(4;\ 0\right) и \vec{y}=\left(-5;\ 7\right)
φ = 

\vec{g}=\left(0;\ 8\right) и \vec{h}=\left(5;\ 0\right)
φ = 

\vec{k}=\left(6;\ -9\right) и \vec{r}=\left(6;\ 4\right)
φ = 

\vec{p}=\left(0,8;\ -0,6\right) и \vec{q}=\left(0,96;\ 0,28\right)
φ = 

\vec{a}=\left(-3;\ -5\right) и \vec{b}=\left(-15;\ p\right)

Ответ: p = 

\vec{s}=\left(4;\ 2\right) и \vec{t}=\left(-1;\ y\right)

Ответ: y = 

\vec{p}=\left(-9;\ k\right) и \vec{q}=\left(4;\ k\right)

Ответ: k =  или k = 

\vec{u}=\left(m;\ -8\right) и \vec{v}=\left(6;\ -5\right)

Ответ: m = 

\vec{c}=\left(1;\ 1\right) и \vec{d}=\left(u;\ 1\right)

Ответ: u = 

\vec{k}=\left(a;\ 5\right) и \vec{n}=\left(0;\ -2\right)

Ответ: 

Еще на эту тему
Другие действия