Применение скалярного произведения векторов

Пример 1.

Найдем углы треугольника, вершинами которого являются точки A(7; –1), B(10; 5) и C(–2; 2).

Найдем угол α между векторами \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{AB} = \left(10-7;\ 5-\left(-1\right)\right) = \left(3;\ 6\right) и \overrightarrow{AC} = \left(-2-7;\ 2-\left(-1\right)\right) = \left(-9;\ 3\right), то

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\cdot\left(-9\right)+6\cdot3 = -27+18 = -9,

\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5},

\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\left(-9\right)^2+3^2}=3\sqrt{10} и

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{-9}{3\sqrt{5}\cdot3\sqrt{10}}\approx-0,1414.

Отсюда α ≈ 98°8'.

Аналогично найдем, например, угол β:

\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=\left(-3;\ -6\right), \overrightarrow{BC}=\left(-12;\ -3\right) ⇒ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=36+18=54,

\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=3\sqrt{5}, \left|\overrightarrow{BC}\right|=3\sqrt{17} ja \cos\mathrm{\beta}=\frac{54}{3\sqrt{5}\cdot3\sqrt{17}}\approx0,6508.

Отсюда β ≈ 49°24' и γ = 180° – α – β ≈ 180° – 147°32' = 32°28'.

Ответ: α ≈ 98°8', β ≈ 49°24', γ ≈ 32°28'.

Пример 2.

Найдем работу, выполненную силой \vec{F}=\left(7,5;\ 7,5\sqrt{3}\right) при перемещении материальной точки Р на вектор \vec{s}=\left(100;\ 0\right). Выясним также, под каким углом к направлению вектора \vec{s} действует сила \vec{F}.

Работа А, выполненная силой \vec{F}, выражается равенством A=\vec{F}\cdot\vec{s}.

Выражая скалярное произведение через координаты, получим: A=7,5\cdot100+7,5\sqrt{3}\cdot0=750.

Угол φ найдем из равенства

\cos\varphi=\frac{\vec{F}\cdot\vec{s}}{\left|\vec{F}\right|\cdot\left|\vec{s}\right|}=\frac{750}{15\cdot100}=0,5. 

Отсюда φ = 60°.