Свойства скалярного произведения векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Как известно, умножение чисел подчиняется следующим законам:

закон коммутативности ab = ba;
закон ассоциативности a(bc) = (ab)c;
закон дистрибутивности a(b + c) = ab + ac.

Можно показать, что подобные законы справедливы и для скалярного произведения векторов. Проиллюстрируем это на примерах.

1. Скалярное произведение коммутативно, т. е.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Пример 1.

В примере 2 раздела 3.1.12 мы вычислили скалярное поизведение векторов \vec{a}=\left(8;\ 0\right) и \vec{b}=\left(0;\ 6\right), в случае которых φ = 90°, и получили, что \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Найдем теперь скалярное произведение \vec{b}\cdot\vec{a} = \left|\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\cos90° = 6\cdot8\cdot0 = 0. Значит, \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.

2. Скалярное произведение ассоциативно относительно умножения на число, т. е. $k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b})$ .

Пример 2.

Пусть k = 2, \left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=5 и угол между векторами \vec{a} и \vec{b} есть φ = 60°.Тогда k\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right) = 2\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = 2\cdot4\cdot5\cdot0,5 = 20.Поскольку угол между векторами \vec{a} и \vec{b} есть φ = 60°, то k = 2 > 0 и потому угол между векторами k\vec{a} и \vec{b}, а также векторами \vec{a} и k\vec{b} является тем же углом φ = 60°.Следовательно,\left(k\vec{a}\right)\cdot\vec{b} = \left|k\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = k\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos60° = \left(2\cdot4\right)\cdot5\cdot0,5 = 20 и\vec{a}\cdot\left(k\vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|k\vec{b}\right|\cdot\cos60° = 4\cdot\left(2\cdot5\right)\cdot0,5 = 20.

3. Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов, т. е. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ .

Пример 3.

Найдем \vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), если векторы \vec{a} и \vec{b} взаимно перпендикулярны и \left|\vec{a}\right|=4.Воспользовавшись только что сформулированным свойством, получим:\vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = \vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^2+0 = \left|\vec{a}\right|^2 = 4^2 = 16.

Пример 4. Найдем \left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2.На основании трех рассмотренных свойств скалярного произведения при нахождении скалярного квадрата \left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2 можно раскрыть скобки так же, как и в случае действий с числами. Поэтому\left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2 = \vec{i}^2+2\cdot\vec{i}\cdot\vec{j}+\vec{j}^2 = \left|\vec{i}\right|^2+2\cdot\left|\vec{i}\right|\cdot\left|\vec{j}\right|\cdot\cos90°+\left|\vec{j}\right|^2 = 1^2+2\cdot1\cdot1\cdot0+1^2 = 2.

Вычислите скалярные произведения, если \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 и угол между векторами \vec{u} и \vec{v} равен 60°.

\vec{v}\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) =

\vec{u}\cdot\left(\vec{v}-\vec{v}\right) =

\vec{u}^2+\vec{v}^2 =

\vec{u}\cdot\left(2\vec{v}-\vec{v}\right) =

Вычислите скалярные произведения, если \left|\vec{u}\right|=4, \left|\vec{v}\right|=3 и угол между векторами \vec{u} и \vec{v} равен 60°.

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2 =

3\vec{u}\cdot\left(\vec{u}+2\vec{v}\right) =

\left(\vec{u}-\vec{v}\right)\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) =

\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)^2 =

\left(\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right) =

\vec{j}\cdot\left(\vec{i}+\vec{j}\right)+\vec{i}\cdot\left(\vec{j}-\vec{i}\right) =

\left(2\vec{i}-\vec{j}\right)\cdot\vec{j}+\vec{i}\cdot\vec{j} =

\left(\vec{i}+\vec{j}\right)^2-\left(\vec{j}-\vec{i}\right)^2 =

Найдите \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=3\vec{i} и \vec{b}=-2\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=-\vec{i} и \vec{b}=7\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=2\vec{i}+4\vec{j} и \vec{b}=4\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

Найдите \vec{a}\cdot\vec{b}.

\vec{a}=4\vec{i}-5\vec{j} и \vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=-2\vec{i}+3\vec{j} и \vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}\vec{a}\cdot\vec{b} =

\vec{a}=6\vec{i}-9\vec{j} и \vec{b}=\vec{0}\vec{a}\cdot\vec{b} =

$\vec{a} = 3 \vec{i}$ и $\vec{b} = -2 \vec{j}$
$\vec{a} = 4 \vec{i} - 5 \vec{j}$ и $\vec{b} = - \vec{i} + 2 \vec{j}$
$\vec{a} = - \vec{i}$ и $\vec{b} = 7 \vec{j}$
$\vec{a} = - 2 \vec{i} + 3 \vec{j}$ и $\vec{b} = 6 \vec{i} + 4 \vec{j}$
$\vec{a} = 2 \vec{i} + 4 \vec{j}$ и $\vec{b} = 4 \vec{j}$
$\vec{a} = 6 \vec{i} - 9 \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{0}$

Вычислите \left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right), если векторы \vec{a} и \vec{b} являются единичными векторами и угол между ними равен 135°.

\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot2\vec{a}+\vec{b}\cdot\left(3\vec{a}-\vec{b}\right) = =

Вычислите \left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right), если \left|\vec{a}\right|=1, \left|\vec{b}\right|=4 и угол между векторами \vec{a} и \vec{b} равен 57°19'.

\left(\vec{a}-2\vec{b}\right)\cdot3\vec{b}+\vec{b}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right) = =

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8, \vec{a}\cdot\vec{b}=20
φ =

\left|\vec{p}\right|=12, \left|\vec{q}\right|=0,5, \vec{p}\cdot\vec{q}=3\sqrt{3}
φ =

\left|\vec{u}\right|=1, \left|\vec{v}\right|=9, \vec{u}\cdot\vec{v}=-9
φ =

\left|\vec{s}\right|=8, \left|\vec{t}\right|=4, \vec{s}\cdot\vec{t}=19,2
φ =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Свойства скалярного произведения векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid