Tõenäosuste liitmise lause

Seni oskame tõenäosust P(A + B) arvutada siis, kui eelnevalt oleme kindlaks teinud sündmuse A + B kõigi võimaluste arvu n ning soodsate võimaluste arvu k. Näiteks ülesande 99 alajuhtudel 6), 7), 9), 10).

Vaatleme järgnevalt tõenäosust P(A + B) arvutamist, kui on teada P(A) ja P(B).

  1. Olgu sündmused A ja B välistavad. Nende kõigiks võimalusteks olgu elementaar­sündmused E1, E2, …, En, millest sündmuse A jaoks soodsaid juhte on k ja sündmuse B jaoks soodsaid juhte on m. Sündmuste A ja B välistatuse tõttu on sündmuse A + B jaoks soodsaid võimalusi k + m. Järelikult

P\left(A+B\right)=\frac{k+m}{n}=\frac{k}{n}+\frac{m}{n}

ehk

P(A + B) = P(A) + P(B)

Sõnastatult:

kahe välistava sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Näide 1.

Kui sündmuseks A on mitte rohkem kui 4 silma tulek ja sündmuseks B on 5 silma tulek täringu viskamisel, siis P\left(A\right)=\frac{2}{3} ja P\left(B\right)=\frac{1}{6} ning P\left(A+B\right)=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\approx0,833. Tõenäosust P(A + B) oleks saanud leida ka sündmuse A + B jaoks soodsate juhtude, neid on 4 + 1, ja kõigi juhtude n = 6 jagatisena: P\left(A+B\right)=\frac{5}{6}\approx0,833.

Välistavate sündmuste korral saab tõenäosuste liitmise lause üldistada n liidetava juhule, vaadeldes esmalt sündmust (A + B) + C, siis sündmust (A + B + C) + D jne. Üld­juhul on välistavate sündmuste korral

P(A + B + … + K) = P(A) + P(B) + … + P(K).

Et kõigi elementaar­sündmuste summa E1 + E2 + … + En = U, siis

P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1.

Seega,

kõigi elementaar­sündmuste tõenäosuste summa on 1.

Samuti on

P(A)+P(A¯)=1,

sest ka A+\overline{A}=U.

  1. Eeldame, et sündmused A ja B on mitte­välistavad. Olgu nende sündmuste kõigist võimalustest (elementaar­sündmustest) E1, E2, …, En soodsaid sündmuse A jaoks k, soodsaid sündmuse B jaoks m ja soodsaid nii sündmuse A kui ka B jaoks r. Seda situatsiooni on kujutatud joonisel 1.11, kus punktid tähistavad elementaar­sündmusi.
Joon. 1.11

Soodsaid võimalusi sündmuse A + B jaoks on k + m – r, sest k + m elementaar­sündmuse seas on osa kahe­kordselt. Järelikult

P\left(A+B\right)=\frac{k+m-r}{n}=\frac{k}{n}+\frac{m}{n}+\frac{r}{n}.

Et \frac{k}{n}=P\left(A\right), \frac{m}{n}=P\left(B\right) ja \frac{r}{n}=P\left(AB\right), sest r elementaar­sündmust on sellised, mille esinemisel toimub nii sündmus A kui ka sündmus B, siis

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Sõnastatult:

Kahe mitte­välistava sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud samade sündmuste korrutise tõenäosus.

Näide 2.

Kaardi­pakis on 52 kaarti. Võetakse juhuslikult üks kaart. Sündmuseks A on ruutu tulek, sündmuseks B pildi tulek. Leiame sündmuse A + B tõenäosuse. Ilmselt on P\left(A\right)=\frac{13}{52}, P\left(B\right)=\frac{12}{52}. Sündmuseks AB on ruutu­mastist pildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Selleks on soodsaid võimalusi 3 ning P\left(AB\right)=\frac{3}{52}. Järelikult P\left(A+B\right)=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}\approx0,423.

Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded A

Ülesanne 107. Kuulide võtmine urnist

P\left(A\right) = 

P\left(B\right) = 

P\left(C\right) = 

Arvutage ka järgnevad tõenäosused.

P\left(A+B\right) = 

P\left(A+C\right) = 

P\left(B+C\right) = 

Ülesanne 108. Kaardi võtmine

P\left(A\right) = 

P\left(B\right) = 

P\left(C\right) = 

P\left(D\right) = 

Sõnastage järgmised sündmused ja leidke nende tõenäosused.

Sündmus

Sõnastus

Tõenäosus

A+D

C+D

B+\overline{B}

A+C

C+\overline{B}

A+C+D

Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded B

Ülesanne 109. Kaardi võtmine

Sündmus

Sõnastus

Tõenäosus

A + B

A + D

A + F

C + D

C + F

F + D

Еще на эту тему
Другие действия