Sõltuvad ja sõltumatud sündmused

Näide 1.

Kaardi­pakis on 36 kaarti. Olgu sündmus B punase kaardi tulek ja sündmus A ärtu- või ruutu­emanda tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Tõenäosus P\left(A\ /\ B\right)=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}, sest sündmus A saab toimuda nende juhtude seast, kus sündmus B on juba toimunud (või toimub).

Näide 2.

Peatüki alguses oli näide, kus urnis oli 12 valget ja 3 sinist kuuli ning sündmus B oli valge kuuli tulek kuuli esimesel võttel ja sündmus A oli valge kuuli tulek kuuli teisel võttel. Leiame valge kuuli tuleku tõenäosuse nii esimesel kui ka teisel võttel, kui esimesena võetud kuuli urni tagasi ei panda.

P\left(AB\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\ /\ B\right) = \frac{12}{15}\cdot\frac{11}{14}=\frac{22}{35}\approx0,63.

Näide 3.

Visatakse kaks korda täringut. Olgu sündmus A kuue silma tulek esimesel viskel ja sündmus B kuue silma tulek teisel viskel. Et sündmused A ja B on sõltumatud, siis P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx0,028.

Näide 4.

Kuue­tahulisele täringule on märgitud arvud 1, 3, 3, 5, 5, 5. Täringut visatakse kolm korda. Leiame tõenäosuse, et kolmest viskest kahe korral tuleb 5 silma.

Teeme sündmuse kõigi võimaluste (mis ei ole võrd­võimalikud) „puu“ ja leiame nende seast meid huvitavad juhud. Tõenäosuste arvutamiseks kirjutame „puu harude“ juurde tõenäosused, millega on oodata järgneva arvu tulekut (joon. 1.12).

Joon. 1.12

Värviliselt kirjutatud 6 juhtu ongi meid huvitava sündmuse üksik­juhud, mis on oma­vahel välistavad nagu ka kõik üle­jäänud juhud. Üksik­juhtude tõenäosused saame tõenäosuste korrutamise lause põhjal liikudes piki „puu harusid“ „puu“ algusest vastava üksik­juhu lõpuni. Seega

P(arv 5 täringu kolmest viskest kahe korral) = P(kas 155 või 355 või 515 või 535 või 551 või 553) = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{3}{8}=0,375.

Näide 5.

Münti visatakse järjest kaks korda. Leiame tõenäosuse, et vapp tuleb kas esimesel või teisel viskel.

Olgu sündmuseks A vapi tulek esimesel viskel ja sündmuseks B vapi tulek teisel viskel. Sündmused on teine­teist mitte­välistavad. See­tõttu P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Et sündmused A ja B on sõltumatud, siis P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} ja P\left(A+B\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Sama tulemuse oleksime saanud ka kõigi võimaluste ja neist soodsate võimaluste loetlemise teel: vapp-vapp, vapp-kiri, kiri-vapp, kiri-kiri; n = 4, k = 3, p = 3 : 4 = 0,75.

Näide 6.

Laual on 6 alust kompvekkidega. Üks ette­kandja on neist täitnud 4 alust, pannes igale 15 täidisega ja 15 täidiseta kompvekki, teine aga 2 alust, pannes igale 10 täidisega ja 20 täidiseta kompvekki. Leiame, kui suur on tõenäosus, et esimesena juhuslikult aluselt juhusliku kompveki võtmisel saame täidisega kompveki.

Sellist ülesannet on ots­tarbekas lahendada mitte valmis valemite abil, vaid arutelu teel, kasutades tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreeme. P(täidisega kompvek) = P(täidisega kompvek kas esimese või teise ette­kandja poolt täidetud aluselt). Juba väljendist kas… või… selgub, et vastavad tõenäosused tuleb liita. Et tegemist on välistavate sündmustega, siis P(täidisega kompvek) = P(täidisega kompvek esimese ette­kandja poolt täidetud aluselt) + P(täidisega kompvek teise ette­kandja poolt täidetud aluselt). Kuna kummagi ette­kandja poolt täidetud aluseid on laual mitu, siis sulgudes märgitud sündmused tähendavad, et enne valitakse juhuslikult alus ja siis alles sellelt kompvek. Järelikult P(täidisega kompvek) = P(esimese ette­kandja poolt täidetud alus ja sellelt täidisega kompvek) + P(teise ette­kandja poolt täidetud alus ja sellelt täidisega kompvek). Kummagi liidetava korral on tegemist kahe sündmuse korrutisega, kus­juures sündmused (valitakse teatud alus ja siis sellelt täidisega kompvek) on sõltuvad. Seega tuleb nüüd rakendada tõenäosuste korrutamise teoreemi sõltuvate sündmuste korral:

P(täidisega kompvek) = P(esimese ettekandja alus) ∙ P(sellelt täidisega kompvek) + P(teise ettekandja alus) · P(sellelt täidisega kompvek) =

=\frac{4}{6}\cdot\frac{15}{30}+\frac{2}{6}\cdot\frac{10}{30}=\frac{4}{9}\approx0,44.