Funktsiooni pidevus

Kui funktsiooni y = f (x) määramis­piirkonda kuulub argumendi väärtus a ja

$$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$$,

siis nimetatakse funktsiooni pidevaks kohal (ehk punktis) a. Seega on funktsioon pidev kohal a, kui eksisteerib f (a) ja $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$$ ning need on võrdsed.

Kui funktsioon on pidev x-telje mingi piir­konna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev piir­konnas.

Geomeetriliselt avaldub funktsiooni pidevus x-telje mingis piir­konnas selles, et funktsiooni graafikut on võimalik selle piir­konna ulatuses joonestada ühe tõmbega, joonestus­vahendit paberilt eemaldamata. Nii­moodi saab joonistada näiteks sinusoidi x-telje igas piir­konnas, põhi­mõtteliselt ka kogu y = sin x määramis­piirkonnas. Seega on siinus­funktsioon y = sin x pidev kogu määramis­piirkonnas R.

Kui funktsioon y = f (x) ei ole kohal a määratud, s.t ei eksisteeri f (a), kuid funktsioon on määratud koha (punkti) a igas vasak- ja parem­poolses „naaber­punktis”, täpsemalt öeldes punkti a igas kui­tahes väikeses ümbruses, siis öeldakse, et funktsioon on kohal (või punktis) a katkev. Arvu a nimetatakse funktsiooni katkevus­kohaks.

Näiteks funktsiooni y=\frac{x^2+x-1}{x+2} graafik (joonis 4.1) ainult katkeb kohal x = –2, olles muidu sama­sugune sirge nagu y = x – 1 korral. Graafikul puudub seega vaid punkt (–2; –3).