Funktsiooni piir­väärtus

Vaatleme funktsiooni

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}.

Selle funktsiooni määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk, välja arvatud arv –2, sest x = –2 korral puudub funktsioonil väärtus (jagatise \frac{0}{0} pole ühest tähendust). Koostame antud funktsiooni väärtuste tabeli ja selle järgi funktsiooni graafiku.

Nagu näeme, osutub antud funktsiooni graafikuks sirge, millel puudub üks punkt (joonis 4.1a või b). Puuduvat punkti graafikul märgitakse seest tühja väikese ringikesega (joonis 4.1a) või sellesse puuduvasse punkti suunatud kahe vastastikuse noolega (joonis 4.1b).

Joon. 4.1

Et graafikuks (määramis­piirkonna ulatuses) on tõesti sirge, ilmneb ka sellest, et

\frac{x^2+x-2}{x+2} = \frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+2} = x-1.

Seega funktsioonide

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}, kus x ∈ R, x ≠ –2,   (1)

ja

y = x – 1, kus x ∈ R,   (2)

erinevus on vaid määramis­piirkonna ühes väärtuses x = –2. Järelikult on ka nende graafikud samad, välja arvatud kohal x = –2.

Uurime järgnevalt, kuidas käitub funktsioon

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}

koha x = –2 läheduses ehk ümbruses, nagu öeldakse matemaatikas. Selleks laseme argumendi väärtustel läheneda arvule –2 ehk teisiti öeldes, vaatleme argumendi x väärtuste jada, mis läheneb arvule –2 (s.t mille piir­väärtus on –2), ja leiame sellele jadale vastava funktsiooni väärtuste jada:

x: –2,1; –2,01; –2,001; –2,0001; –2,00001; … → –2.

y: –3,1; –3,01; –3,001; –3,0001; –3,00001; … → –3.

Nagu näha, lähenevad funktsiooni väärtused tõkestamatult arvule –3 (funktsiooni väärtuste jada piir­väärtus on –3). Saadud tulemuse põhjal püstitame hüpoteesi, et argumendi x i g a väärtuste jada korral, mille piir­väärtus on –2, lähenevad vaadeldava funktsiooni väärtused arvule –3.

Tõestame selle väite. Olgu argumendi väärtuste jada, mille piir­väärtus on –2, üld­liige x_n, kus­juures x_n ≠ –2. Siis $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{x}_n=-2$$. Leiame vastava funktsiooni väärtuste jada üld­liikme y_n. Et x ≠ –2 korral on y = x – 1, seos (2), siis x_n ≠ –2 korral on y_n = x_n – 1. Leiame nüüd funktsiooni väärtuste jada piir­väärtuse:

$$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{y}_n$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}(x_n-1)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{x}_n-\underset{n\to \infty }{\text{lim}}1$$ = $$ -2-1$$ = $$ -3$$.

Seega tõesti,

kui x\to-2, siis y\to-3 ehk \frac{x^2+x-2}{x+2}\to-3.

Arvu –3 nimetatakse funktsiooni $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{2}}$$ piir­väärtuseks argumendi x lähenemisel arvule –2. Kirjutada võib seda kujul

kui x\to-2, siis y\to-3 ehk \frac{x^2+x-2}{x+2}\to-3 või lühemalt $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Neid kirjutisi võib lugeda mitut moodi:

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus, kui x läheneb –2-le, on –3;

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus on –3, kui x läheneb –2-le;

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus kohal –2 on –3;

liimes \frac{x^2+x-2}{x+2}-st, kui x läheneb –2-le, on –3.

Üld­juhul:

Sümbolites:

ehk

Funktsiooni piir­väärtuse definitsioonis on tingimus „kui argumendi igale väärtuste jadale (x_n), mille piir­väärtus on a“. Selgitame näitega, miks selline nõue on vajalik. Selleks vaatleme funktsiooni

y=\cos\frac{1}{x}

kohal 0. Kui x = 0, puudub funktsioonil väärtus. Püüame leida funktsiooni piir­väärtust kohal 0. Selleks moodustame argumendi x väärtuste mingi jada, mille piir­väärtus on 0:

\frac{1}{2\pi}, \frac{1}{4\pi}, \frac{1}{6\pi}, \frac{1}{8\pi}, … → 0.

Leiame funktsiooni väärtuste vastava jada

\cos2\pi, \cos4\pi, \cos6\pi, \cos8\pi, …

ehk

1, 1, 1, 1, … → 1.

Nüüd võiksimegi väita, et funktsiooni piir­väärtus kohal 0 on 1. Kontrollime seda väidet veel kord argumendi mingi teise väärtuste jada korral, mille piir­väärtus on 0:

\frac{1}{\pi}, \frac{1}{3\pi}, \frac{1}{5\pi}, \frac{1}{7\pi}, … → 0.

Funktsiooni väärtuste vastav jada on

\cos\pi, \cos3\pi, \cos5\pi, \cos7\pi, …

ehk

–1, –1, –1, –1, … → –1.

Nagu näha, on tulemus eelnevast erinev. Sellest saame teha vaid ühe järelduse – funktsioonil y=\cos\frac{1}{x} kohal 0 piir­väärtus puudub.

Meenutame eksponent­funktsiooni omadust 6.1 (peatükk 3.3): funktsiooni y = a^x, a > 1 korral, 1) kui x väärtused tõkestamatult kasvavad, siis funktsiooni väärtused kasvavad kui­tahes suureks, ehk sümboleis, kui x\to∞, a^x\to∞; 2) kui x väärtused tõkestamatult kahanevad, siis funktsiooni väärtused lähenevad nullile, ehk sümboleis, kui x\to-∞, siis a^x\to0.

Seda omadust saab kirjutada lühemalt, kui kasutada piir­väärtuse mõistet:

kui y = a^x, a > 1, siis $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$ ja $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$.

Analoogiliselt saab eksponent­funktsiooni omadust 6.2 kirjutada kujul

kui y = a^x, 0 < a < 1, siis $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$ ja $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$.

Tuletame meelde, et sümbol ∞ ei tähista arvu. Seega ei tähenda kirjutised x\to∞ ja x\to-∞, et muutuja x väärtused lähenevad mingile arvule, vaid seda, et (x\to∞ korral) x väärtused kasvavad ja saavad kui­tahes suureks (liikumine arv­telje positiivses suunas) või (x\to-∞ korral), et x väärtused pidevalt kahanevad (liikumine arv­telje negatiivses suunas).

Kui funktsiooni y = f (x) väärtused tõkestamatult kasvavad või kahanevad, kirjutatakse samuti f\left(x\right)\to∞, f\left(x\right)\to-∞. Ka kirjutist $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty $$ tuleb mõista nii, et funktsiooni f (x) väärtused kasvavad tõkestamatult, kuigi sageli loetakse funktsiooni f (x) väärtused lähenevad lõpmatusele või koguni funktsiooni f (x) piir­väärtus on lõpmatus.

* Kui $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=A$$ ehk f\left(x\right)\to A, kui x\to a, siis suurus f\left(x\right)-A\to0, kui x\to a. Teisi­sõnu, kui $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=A$$, siis suurus f\left(x\right)-A\to0 x lähenemisel arvule a.

Veendume selles järgmise näite varal.