Степень с действительным показателем

Курс "Функции"

Напомним, что для любого действительного числа a ∈ R:

Для всех этих степеней показатель можно считать дробным числом вида \frac{m}{n}, где m ∈ Z и n ∈ Z⁺, так как и целые показатели можно представить в виде n=\frac{n}{1}.

Такими образом, во всех рассмотренных выше случаях показателем степени являлось рациональное число.

Для степеней с основаниями а > 0, b > 0 и рациональными показателями (u ∈ Q, v ∈ Q) выполнены следующие свойства:

Выясним, что понимается под степенью a^r, если показатель степени r является иррациональным числом и a > 0, a ∈ R. Начнем с примера: чему равна степень 5^{\sqrt{2}} и как можно ее вычислить с любой степенью точности.

Компьютер или калькулятор дают нам, что иррациональное число \sqrt{2}=1,41421356\dots. Запишем десятичные приближения числа \sqrt{2}, не производя округлений:

​1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135; …

В результате мы получаем числовую последовательность[cноска: Термин последовательность нельзя заменять словом ряд, так как в математике ряд является суммой членов последовательности, т. е. в данном случае 1 + 1,4 + 1,41 + ..., или, в общем виде, r1 + r2 + … + rn + …]. Числа, образующие последовательность (члены последовательности) обычно зависят от порядкового номера, с которым они входят в последовательность. В данном случае первый член r₁ является целым приближением числа \sqrt{2}, т. е. r₁ = 1, r₂ является приближением с точностью до десятых, т. е. r₂ = 1,4, аналогично r₃ = 1,41, т. е. это приближение с точностью до сотых, и т. д.

Обозначим общий член этой последовательности символом r_n. Если номер неограниченно возрастает (пишут n\to∞)), то значения r_n располагаются все ближе и ближе к числу \sqrt{2} (в краткой записи r_n\to\sqrt{2}).

Соответствующие степени числа 5 также образуют последовательность

5¹; 5^1,4; 5^1,41; 5^1,414; 5^1,4142; 5^1,41421; 5^1,414213; 5^1,4142135; …, a_n, …

с общим членом a_n=5^{r_n}.

Таким образом, в случае, когда a > 0, степень a^r определена как для рационального, так и для иррационального показателя степени, т. е. для любого действительного показателя r. Значит,

a^r есть действительное число, если a ∈ R⁺ и r ∈ R.

Заметим, что при этом выполняются свойства степени – соотношения (1).

Справедливы также утверждения, вытекающие из равенства степеней с равными основаниями (a > 0, u, v ∈ R):

Рассмотренное в примере 4 уравнение принадлежит к виду показательных уравнений[понятие: Показательное уравнение (eksponentvõrrand) – уравнение, которое содержит неизвестное только в показателе степени.], так как оно содержит неизвестное только в показателе степени. С такими уравнениями мы подробнее познакомимся позднее.

Чтобы вычислить значение степени a^r, где a > 0 и r ∈ R, в большинстве случаев приходится пользоваться калькулятором. Для этого на калькуляторе есть клавиша x^y или y^x (иногда клавиша a^x или клавиша ^). Вычисление степени a^r выполняется по одной из следующих схем: a x^y r = или r y^x a = или a ^ r =.

Значения выражений a^{\sqrt{b}} и a^{\frac{1}{c}} можно вычислить соответственно по следующим схемам:

a x^y b √ = и a x^y c 1/x = или

a ∧ b √ = и a ∧ ( 1 ÷ c ) =.

Если калькулятор имеет клавишу x^1/y или \sqrt[y]{x} (или \sqrt[x]{y}), то значение a^{\frac{1}{c}}, или \sqrt[c]{a}, можно вычислить проще:

a x^1/y c = или a \sqrt[x]{y} c = или c \sqrt[x]{y} a =.

Для вычисления значения выражения a^{\frac{m}{n}}, или \sqrt[n]{a^m}, подходят следующие схемы:

Если на калькуляторе есть клавиша ∧ возведения в степень, то можно вычислить по схеме:

a ∧ ( m ÷ n ) =.

Для вычисления степени 10^r на калькуляторе есть клавиша 10^x и вычисления выполняются по схеме: r 10^x. Например, при вычислении по схеме 3,04 10^x получим, что 10^3,04 ≈ 1096,4782.