Скорость и ускорение в данный момент времени

Курс „Последовательности. Производная функции”

Рассмотрим функции, описывающие изменение некоторой величины в зависимости от времени. Наряду со многими другими факторами от времени зависят, например,

  • длина пути, пройденного телом;
  • площадь масляной лужи под протекающим резервуаром с маслом;
  • объем воздуха в поврежденной покрышке колеса автомобиля и т. д.

Пусть подобная зависимость задана функцией f, для которой аргументом является время t. Как мы уже знаем (см. раздел 14.4), производная f '(t0) такой функции выражает мгновенную скорость v(t0) изменения величины, т. е. скорость в момент времени t0, которую можно записать так:

v\left(t_0\right)=f'\left(t_0\right).

Таким образом, если закон движения тела описывается функцией s(t), то изменение его скорости описывается функцией[cноска: s, v и a – это величины, имеющие знаки. При их истолковании нужно всегда учитывать, как движется тело относительно начала движения.]

v (t) = s'(t).

В свою очередь производная v′(t) выражает скорость изменения скорости, т. е. ускорение a(t), что записывается как

a (t) = v'(t).

С помощью чертежа и приведенных ниже вопросов опишите движение тела по прямой.

  1. В каком промежутке времени тело удаляется от начала движения и в каком промежутке приближается к исходной точке?
    Ответ: тело удаляется от начала движения, если t ∈  и приближаеся к нему, если t ∈ .
  2. В какой момент времени тело находится дальше всего от начала движения?
    Ответ: дальше всего от исходной точки тело находится при t = .
  3. Через сколько секунд тело вернется в первоначальное положение?
    Ответ: тело вернется в первоначальное положение через  секунд.
Используемые единицы измерения
Единицами измерения в задачах на движение являются метр и секунда, если не оговорено противное. В дальнейшем также сохраняются обозначения величин s(t) и t.

Пример 1.

Тело движется прямолинейно по закону

s (t) = –0,25t2 + 4t.

Найдем:

  1. формулы, позволяющие вычислить скорость и ускорение в произвольный момент времени;
  2. скорость и ускорение тела в момент t0 = 2;
  3. через сколько секунд тело остановится.

Сначала найдем формулы для скорости и ускорения:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-0,5t+4,
a\left(t\right)=v'\left(t\right)=-0,5.​

Вычислим теперь скорость в момент времени t_0=2.

v\left(2\right)=-0,5\cdot2+4=3\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).

Ускорение тела постоянно, а потому и при t_0=2 ускорение равно -0,5\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с^2}}.

В момент, когда тело остановится, его скорость должна стать равной нулю. Поэтому решим уравнение

-0,5t+4=0,

чтобы получить ответ на последний вопрос: тело остановится через 8 секунд.

Построим теперь на компьютере (например, с помощью программы GeoGebra) графики обеих полученных функций в одной системе координат. На оси абсцисс будем отмечать время, а на оси ординат – расстояние от тела до начала отсчета или же скорость (рис. 3.18). 

Рис. 3.18

Графики показывают нам, что:

  • в течение первых 8 секунд тело удаляется от начала отсчета (расстояние увеличивается);
  • на 8-й секунде тело наиболее удалено от начала движения (16 м) и на мгновение останавливается;
  • после этого тело начинает приближаться к точке отправления, достигнув ее на 16-й секунде;
  • в начальный момент скорость тела составляет 4\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}. Далее скорость начинает уменьшаться вплоть до остановки на 8-й секунде. После этого скорость становится отрицательной. Это значит, что тело начинает двигаться в направлении, противоположном направлению оси, на которой отмечается расстояние.

Пример 2.

Тело движется прямолинейно по закону

s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4.

Найдем скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Сначала выразим скорость и ускорение:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-t^2+4t и
a\left(t\right)=v'\left(t\right)=\left(-t^2+4t\right)^'=-2t+4.​

Из уравнения -2t+4=0 получим, что скорость нужно найти в момент времени t_0=2. Отсюда

v\left(t_0\right)=v\left(2\right)=-2^2+4\cdot2=4\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).

Ответ: в момент, когда ускорение тела станет равным нулю, его скорость равна 4\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.

Еще на эту тему
Другие действия

Упражнения

Найдите:

  1. мгновенную скорость точки в моменты времени t_1=3 и t_2=5,6.
    Ответ: если t_1=3, то v =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}} и если t_2=5,6, то v =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.
  2. ускорение в оба этих момента.
    Ответ: если t_1=3, то a =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2} и если t_2=5,6, то a =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}.
  • Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t = 5.
    Ответ: v (5) =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}, a (5) =  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}.
  • В какой момент ускорение движения точки будет равно нулю?
    Ответ: ускорение будет равно нулю, если t =  с.
  • С помощью компьютера постройте графики функций s(t) и v(t) и опишите с их помощью движение точки в течение четырех первых секунд (расстояние от начала движения, изменение скорости и ускорения).
  • Найдите мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды.
    Ответ: в конце второй секунды мгновенная скорость равна  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}, а ускорение равно  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}.
  • В конце какой секунды точка остановится?
    Ответ: точка остановится в конце  секунды.
  • С помощью компьютера постройте графики функций s(t) и v(t) и опишите с их помощью движение точки в течение четырех первых секунд (расстояние от начала движения, изменение скорости и ускорения).

Найдите:

  1. на которой секунде пакет упадет на землю.
    Ответ: пакет упадет на землю на  секунде.
  2. скорость и ускорение пакета в конце 4-й секунды.
    Ответ: в конце 4-й секунды скорость пакета будет  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}, а ускорение составит  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с^2}}.
  3. в какой момент времени скорость падения пакета станет равной нулю.
    Ответ: скорость пакета станет равной нулю в момент с.
  • Какова глубина кратера?
    Ответ: глубина кратера равна  м.
  • С какой скоростью камень достигнет дна?
    Ответ: камень достигнет дна со скоростью  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.
  • Сколько бактерий было в биомассе в начальный момент t = 0?
    Ответ: в начальный момент в биомассе было бактерий.
  • Какова скорость прироста числа бактерий в момент времени t = 3,5 мин?
    Ответ: в момент времени t = 3,5 мин скорость прироста числа бактерий  была бактерий в минуту.
  1. С какой высоты мяч начал свое движение?
    Ответ: мяч бросили с высоты  м.
  2. Какова была начальная скорость движения мяча?
    Ответ: начальная скорость движения мяча была  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.
  3. Вверх или вниз бросили мяч (исследуйте его ускорение)?
    Ответ: мяч бросили .
  4. Через сколько секунд после броска мяч достигнет наибольшей высоты и какова эта высота?
    Ответ: мяч достигнет наибольшей высоты через  секунд(ы) и эта высота равна м.
  5. Через сколько секунд после броска мяч упадет на землю?
    Ответ: мяч упадет на землю через  с.
  6. С какой скоростью мяч достигнет земли?
    Ответ: мяч достигнет земли со скоростью  \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.

Ответ: скорость движения первой точки больше скорости движения второй, если t ∈ .

Еще на эту тему
Другие действия