Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Ring ja ringjoon
Arv π jada piirväärtuseks
Ringi pindala kui piirväärtus

Ще на цю тему

Ring ja ringjoon

Ringjoone pikkus

$C = 2 π r$
$C = π d$
$C = π r$
$C = π r^{2}$

Ringi pindala

$S = π d$
$S = π r$
$S = 2 π r$
$S = π r^{2}$

Arv π = 3,1415926536... kuulub arvuhulka

$ℕ$
$ℝ$
$ℚ$
$𝕀$

r = 6 cm
R = 12 cm

Vastus

Värvitud osa pindala
S = cm² ja ümbermõõt
P = cm.

Ще на цю тему

Arv π jada piirväärtuseks

Märka

Jada {a_n} on kasvav, kui

a_n₊₁ > a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on mittekahanev, kui

a_n₊₁ ≥ a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on kahanev, kui

a_n₊₁ < a_n, n ∈ ℕ.

Jada {a_n} on mittekasvav,

kui a_n₊₁ ≤ a_n, n ∈ ℕ.

Teoreem

Kui mittekahanev jada {a_n} on ülalt tõkestatud, st
a_n ≤ M, n ∈ ℕ,
siis eksisteerib selle jada piirväärtus a.

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a \leq M$

Kui mittekahanev jada {b_n} on alt tõkestatud, st
b_n ≥ M, n ∈ ℕ,
siis eksisteerib selle jada piirväärtus b.

$\lim_{n \to \infty} b_{n} = b \geq M$

Korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõtude jada

Kui ringjoone sisse joonestada korrapärane n-nurk ja ühendada selle tipud ringjoone keskpunktiga O, saame n võrdhaarset kolmnurka, mille tipunurk on 2α.

$2 α = \frac{360 °}{n}$ ja $α = \frac{180 °}{n}$

Avaldame korrapärase n-nurga külje.

$a_{n} = 2 r sin α = 2 r sin \frac{180 °}{n}$

Avaldame hulknurga ümbermõõdu.

$l_{n} = n \cdot a_{n} = 2 r n \sin \frac{180 °}{n}$

Korrapäraste kõõlhulknurkade ümbermõõtude jada {l_n} on kasvav, ülalt tõkestatud ja selle jada piirväärtus on ringjoone pikkus C.

$\lim_{n \to \infty} l_{n} = \lim_{n \to \infty} (2 r n \cdot \sin \frac{180 °}{n}) =$

$= 2 r \cdot \lim_{n \to \infty} (n \cdot \sin \frac{180 °}{n}) = 2 π r$

Saab näidata, et jada $\{n \cdot \sin \frac{180 °}{n}\}$ piirväärtuseks on arv π.

Korrapärane kõõlhulknurk

Lähendame korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõdu l_n ringjoone pikkusele C.

n kasvades läheneb kõõlhulknurga ümbermõõdu l_n erinevus ringjoone pikkusest nullile.

n	α	sin α	n ⋅ sin α
3	60°	0,8660	2,5981
6	30°
12	15°
60	3°
90	2°
180	1°

Ще на цю тему

Ringi pindala kui piirväärtus

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Ringjoone pikkust võib vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade ümbermõõtude jada {l_n} piirväärtusena.

Ringi pindala võib vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada {S_n} piirväärtusena.

Märka

$\lim_{n \to \infty} l_{n} = C = 2 π r$

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = S = π r^{2}$

Korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada

Avaldame kolmnurga OAB pindala.

S_OAB = $\frac{a_{n} \cdot h_{n}}{2}$

Ringi pindala S saab vaadelda korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade S_n jada piirväärtusena.

S_n = n ⋅ S_OAB

$S_{n} = \frac{n a_{n} \cdot h_{n}}{2} = \frac{l_{n} \cdot h_{n}}{2}$

Jada {S_n} on kasvav ja ülalt tõkestatud ringi pindalaga S. On näha, et n kasvades kõõlhulknurga pindala S_n erinevus ringi pindalast läheneb nullile. Järelikult eksisteerib piirväärtus.

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{l_{n} \cdot h_{n}}{2} =$

$= \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} l_{n} \cdot \lim_{n \to \infty} h_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2 π r \cdot r$

Järelikult, ringi pindala S = πr².

Lähendame korrapärase kõõlhulknurga pindala S_n ringi pindalale S.

n kasvades läheneb kõõlhulknurga pindala S_n erinevus ringi pindalast nullile.

Ümberringjoon
- R = cm
- C = cm
- S = cm²
Siseringjoon
- r = cm
- C = cm
- S = cm²

Ще на цю тему

Harjuta ja treeni

Kujund kujundis

Arvuta värvitud osa pindala.

Suure kolmnurga pindala
S₁ = $\sqrt{}$ cm²
Väikese kolmnurga pindala
S₂ = $\sqrt{}$ cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

S_▭ = cm²
S_◓ = π cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

r = $\sqrt{}$ cm
S_○ = π cm²
S_Δ = $\sqrt{}$ cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu
S ≈ cm².

a = $\sqrt{}$ cm
S_△ = $\sqrt{}$ cm²
S_○ = π cm²

Vastus

Värvitud osa pindala on ligikaudu cm².

a = cm
S₆ = $\sqrt{}$ cm²
r = $\sqrt{}$ cm
S_○ = cm²

Vastus

Värvitud osa ligikaudne pindala on cm².

Ümbermõõt koosneb neljast poolringjoonest ehk kahest ringjoonest raadiusega
r = ü.

Roseti pindala leidmiseks tuleb

Märkus

Antud kujundit võib vaadelda osana neljast poolringist. Kui liita kokku nelja poolringi pindalad, siis saame kogu ruudu pindala ja lisaks veel värvitud kujundi. See tuleneb sellest, et summa sisaldab värvitud kujundit kahekordselt.

Vastus

Roseti ümbermõõt on π ühikut ja pindala ligikaudu ruutühikut.

$h = 6 \sqrt{3}$ cm.
r = $\sqrt{}$ cm
R = $\sqrt{}$ cm

Ümberringjoon

C (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$8 \sqrt{3}$
$12 \sqrt{3}$

S = π cm²

Siseringjoon

C (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$8 \sqrt{3}$
$12 \sqrt{3}$

S = π cm²

$5$
$5 \sqrt{2}$
$10$
$10 \sqrt{2}$
$25$
$25 \sqrt{2}$
$25 π$
$50 π$
$50$
$10 π$
$10 π \sqrt{2}$

Ümberringjoon

R = cm
C = cm
S = cm²

Siseringjoon

r = cm
C = cm
S = cm²

Korrapärane kuusnurk

Kuusnurga apoteem on $6 \sqrt{3}$ cm. Arvuta sise- ja ümberringjoone pikkus ja vastavate ringide pindalad.

r (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$6$
$12$

C (cm) =

$4 \sqrt{3} π$
$4 \sqrt{3} π$
$8 \sqrt{3} π$
$6 \sqrt{3} π$
$24 π$
$12 \sqrt{3} π$

S = π cm²

R (cm) =

$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$6 \sqrt{3}$
$6$
$12$

C (cm) =

$12 \sqrt{3} π$
$4 \sqrt{3} π$
$8 \sqrt{3} π$
$6 \sqrt{3} π$
$24 π$
$12 π$

S = π cm²

Korrapärase kuusnurga siseringjoone pindala moodustab ümberringjoone pindalast
%.
Korrapärase kolmnurga ümberringjoone pindala on siseringjoone pindalast ligikaudu % suurem.
Kuidas muutuvad need protsendid, kui apoteemi suurendada kolm korda?
Protsent

Ще на цю тему

Послугу здійснює Star Cloud OÜ

Приєднайтесь до Opiq

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Ще на цю тему

Ring ja ringjoon

Vastus

Ще на цю тему

Arv π jada piirväärtuseks

Märka

Teoreem

Korrapärase kõõlhulknurga ümbermõõtude jada

Korrapärane kõõlhulknurk

Ще на цю тему

Ringi pindala kui piirväärtus

Ringjoone pikkus ja ringi pindala

Märka

Korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada

Ще на цю тему

Harjuta ja treeni

Kujund kujundis

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Märkus

Vastus

Ümberringjoon

Siseringjoon

Ümberringjoon

Siseringjoon

Korrapärane kuusnurk

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie