Piirväärtuse arvutamine

Piirväärtuse arvutamine
Määramatusest vabanemine

Seotud sisu

Piirväärtuse arvutamine

Reeglid

On teada, et
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ja $\lim_{n \to \infty} b_{n} = b$

Summa piirväärtus

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) =$
$= \lim_{n \to \infty} a_{n} + \lim_{n \to \infty} b_{n} = a + b$

Korrutise piirväärtus

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) =$
$= \lim_{n \to \infty} a \cdot \lim_{n \to \infty} b_{n} = a \cdot b$

Jagatise piirväärtus

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_{n}}{\lim_{n \to \infty} b_{n}} = \frac{a}{b},$ kui b ≠ 0

Konstantne kordaja korrutises

$\lim_{n \to \infty} (k \cdot a_{n}) = k \cdot \lim_{n \to \infty} a_{n}$

$\lim_{n \to \infty} (k a_{n} + l b_{n}) = k a + l b$

Märka

Tehted lõpmatusega

Kui a > 0, siis

$\frac{a}{\infty} = 0$ ja $\frac{- a}{\infty} = 0$

$\frac{\infty}{a} = \infty$ ja $\frac{\infty}{- a} = - \infty$

$a \cdot \infty = \infty$ ja $- a \cdot \infty = - \infty$

Määramatus

Mõned lõpmatuse ja nulliga tehted on määramatud.

∞ – ∞

$\frac{\infty}{\infty}$

0 ⋅ ∞

$\frac{0}{0}$

Üks piirväärtus on 0 või ∞

Näide 1

Kui $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ja $\lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0,$ siis

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = b$
$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$

Näide 2

Kui $\lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ ja $\lim_{n \to \infty} b_{n} = 0,$ siis

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a$
$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ on kas lõpmatu või puudub

Näide 3

Kui $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ ja $\lim_{n \to \infty} b_{n} \neq 0,$ siis

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = \infty$
$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = \infty$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$

Näide 4

Kui $\lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ ja $\lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty,$ siis

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = \infty$
$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = \infty$
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n + n^{2}}{2} = \frac{\infty}{2} =$
$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{1 + 3 n} = \frac{5}{\infty} =$
$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{\sqrt{n + 1}} - \frac{4}{2^{n} - 1}) = \frac{3}{\infty} - \frac{4}{\infty} =$
$\lim_{n \to \infty} (3 - \frac{2}{n}) = 3 - \frac{2}{\infty} =$
$\lim_{n \to \infty} (4 - \frac{n}{6}) = 4 - \frac{\infty}{6} =$

Seotud sisu

Määramatusest vabanemine

Määramatus

Määramatuste

∞ – ∞, $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ja 0 ⋅ ∞

tegeliku väärtuse leidmiseks tuleb kasutada teisendusi, mis võimaldavad määramatusest vabaneda. Pärast seda võib tulemuseks olla mis tahes lõplik väärtus, lõpmatus või puudub piirväärtus üldse.

Määramatusest vabanemine

Too muutuja n suurim aste sulu ette ja taanda.
Kaota irratsionaalsus kasutades ruutude vahe valemit

(a – b)(a + b) = a² – b²

Näited

Näide 5

Leiame piirväärtuse $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 1}{n + 2} .$

Lahendus

Piirväärtus on määramatus $\frac{\infty}{\infty} .$

Määramatusest vabanemiseks tuleb lugejas ja nimetajas võtta sulgude ette muutuja n kõige suurem aste ja seejärel taandada n astmed.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 1}{n + 2} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n (2 - \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{2}{n})} =$

$= \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$

Pärast n taandamist kaob määramatus ja saab kasutada piirväärtuse arvutamise reegleid.

Vastus

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 1}{n + 2} = 2$

Näide 6

Leiame piirväärtuse $\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 5 n - 1}{5 - 2 n} .$

Lahendus

Piirväärtus on määramatus $\frac{\infty}{\infty} .$

Toome lugejas n² ja nimetajas n sulu ette.

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 5 n - 1}{5 - 2 n} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} (3 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^{2}})}{n (\frac{5}{n} - 2)} =$

$= \lim_{n \to \infty} (n \cdot \frac{3 - 0}{0 - 2}) =$

$= \lim_{n \to \infty} (- \frac{3}{2} n) = - \infty$

Vastus

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 5 n - 1}{5 - 2 n} = - \infty$

Näide 7

Leiame piirväärtuse $\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^{2} - n}),$ mis on ∞ – ∞ tüüpi määramatus.

Lahendus

Korrutame ja jagame avaldist summaga $n + \sqrt{n^{2} - n} .$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n - \sqrt{n^{2} - n}) (n + \sqrt{n^{2} - n})}{n + \sqrt{n^{2} - n}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} - n^{2} + n}{n + \sqrt{n^{2} - n}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + \sqrt{n^{2} - n}}$

Nimetajas olev summa ei ole enam määramatus, sest lõpmatused on sama märgiga ja ∞ + ∞ = ∞.
Nüüd on tegemist määramatusega $\frac{\infty}{\infty}$ ja sellepärast toome nimetajas n sulgude ette.

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n (1 + \frac{\sqrt{n^{2} - n}}{n})} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{n^{2} - n}{n^{2}}}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} =$

$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Vastus

$\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^{2} - n}) = \frac{1}{2}$

$a_{n} = \frac{3 n}{9 n^{6}},$ $\lim_{n \to \infty} a_{n} =$
$b_{n} = \frac{n^{2} - 5}{n + 2},$ $\lim_{n \to \infty} b_{n} =$
$c_{n} = \frac{5 n - 2}{n^{6} + 3},$ $\lim_{n \to \infty} c_{n} =$
$d_{n} = \frac{n^{4}}{1 - n},$ $\lim_{n \to \infty} d_{n} =$
$k_{n} = \frac{4 n - 2}{n + 3},$ $\lim_{n \to \infty} k_{n} =$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

–5
4
5
–2
–4
2
3
–3

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{2} + 7}{n^{2}} =$
$\lim_{n \to \infty} \frac{5 n^{4} + 7 n - 1}{- 2 n^{3} + n^{4}} =$
$\lim_{n \to \infty} \frac{12 - 5 n}{n + 6} =$
$\lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 6 n^{5}}{5 - 3 n^{4} + 3 n^{5}} =$
$\lim_{n \to \infty} \frac{8 n^{4} - 3 n^{2}}{2 n^{2} + 4 n^{4}} =$

Kasutamata jäänud arvude summa on .

0
1
–∞
∞

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n} - \sqrt{n + 2}}) =$
$\lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{n^{2} + 1} - 2}{n}) =$
$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n^{2} - 5}) =$
$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n - 1} - \sqrt{n}) =$
$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} + \sqrt{n^{2} - 5}) =$

$a_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - n$

1. $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + n} - n)$ leidmiseks tuleb jada avaldis korrutada ja jagada avaldisega

$\sqrt{n^{2} + n} + n$
$\sqrt{n^{2} + n} - n$

2. Pärast lihtsustamist saad piirväärtuse $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n} .$

3. Nüüd on tegemist määramatusega

$\frac{0}{0}$
0 ⋅ ∞
$\frac{\infty}{\infty}$
∞ – ∞

4. Määaramatusest vabanemiseks too lugejas ja nimetajas n sulgude ette, taanda ning arvuta.

Vastus

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + n} - n) =$

$a_{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n + 2}$

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n + 2})$ leidmiseks tuleb jada avaldist korrutada ja jagada avaldisega

$\sqrt{n} - \sqrt{n + 2}$
$\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}$

Vastus

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{}{\infty} =$

Seotud sisu

Jäta meelde

määramatus
7
0
11
∞
–3
–8
–∞

$\frac{7}{\infty} =$

$\infty \cdot 11 =$

$\infty - \infty =$

$(- 3) \cdot \infty =$

$\frac{0}{0} =$

$\frac{\infty}{\infty} =$

$\infty \cdot 0 =$

$\infty + \infty =$

$\frac{- 8}{\infty} =$

$\frac{\infty}{8} =$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Piirväärtuse arvutamine

Seotud sisu