Korrapärase püramiidi pindala

Vaatleme n-nurkset korrapärast püramiidi. Seda piiravad üks korrapärane hulknurk (püramiidi põhitahk) ja n võrdset võrdhaarset kolmnurka (püramiidi külgtahud). Korrapärase hulknurga pindala nimetatakse põhja pindalaks ja tähistatakse sümboliga S_p. Külgtahkude pindalade summa annab külgpindala S_k. Püramiidi kõigi tahkude pindalad kokku annavad täispindala

S_t = S_k + S_p.

Leiame n-nurkse korrapärase püramiidi (vaata joonist) külgpindala. Ühe külgtahu pindala $S_{B C T} = \frac{a m}{2}$ , järelikult kogu külgpindala on n korda suurem, s.t

$S_{k} = n \cdot \frac{a m}{2}$ ,

millest $S_{k} = \frac{n a}{2} \cdot m$ ehk

$S_{k} = \frac{P}{2} \cdot m$ .

Korrapärase püramiidi külgpindala võrdub põhja poole ümbermõõdu ja püramiidi apoteemi korrutisega.

Näide 1

Korrapärase seitsmenurkse püramiidi põhiserv a = 5 cm ja püramiidi apoteem m = 14 cm. Leiame püramiidi külgpindala.

Lahendus. Et n = 7, a = 5 ja m = 14, siis $S_{k} = n \cdot \frac{a m}{2}$ = $7 \cdot \frac{5 \cdot 14}{2}$ = 245 (cm²).

Vastus. Külgpindala S_k = 245 cm².

Näide 2

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv a = 8 cm ja külgtahu kõrgus m = 13 cm. Leiame püramiidi täispindala.

Lahendus.

Põhja pindala S_p = a² = 8² = 64 (cm²).

Külgpindala $S_{k} = n \cdot \frac{a m}{2}$ = $4 \cdot \frac{8 \cdot 13}{2}$ = 208 (cm²).

Täispindala S_t = S_p + S_k = 64 cm² + 208 cm² = 272 cm².

Näide 3

Leiame korrapärase kuusnurkse püramiidi täispindala, kui põhiserv a = 6 dm ning nurk põhja ümberringjoone raadiuse ja külgserva vahel on α = 66°25'.

Lahendus.

Täisnurkses kolmnurgas COT on $\cos α = \frac{O C}{b}$ ⇒ $b = \frac{O C}{\cos α}$ ehk $b = \frac{6}{\cos 66 ° 25'}$ ≈ 15,0 (dm).

Täisnurkses kolmnurgas CDT m² + DC² = b², kus DC = a : 2 = 6 : 2 = 3 (dm).

Seega $m = \sqrt{b^{2} - D C^{2}}$ ≈ $\sqrt{{15,0}^{2} - 3^{2}}$ ≈ 14,7 (dm).

Püramiidi külgpindala $S_{k} = n \cdot \frac{a m}{2}$ ≈ $6 \cdot \frac{6 \cdot 14, 7}{2}$ = 264 (dm²).

Põhjaks oleva hulknurga apoteemi saame kolmnurgast CDO: $r = 3 \sqrt{3}$ . Püramiidi põhja pindala $S_{p} = n \cdot \frac{a r}{2}$ = $6 \cdot \frac{6 \cdot 3 \sqrt{3}}{2}$ = $54 \sqrt{3}$ ≈ 94 (dm²) ja S_t = S_k + S_p ≈ 264 + 94 = 358 (dm²).

Vastus. Püramiidi täispindala S_t ≈ 358 dm².

Kui püramiid ei ole korrapärane, tuleb külgpindala leidmiseks arvutada iga tahu pindala eraldi ja tulemused liita.

Ще на цю тему

Ülesanded A

Vastus. S_k = cm².

Vastus. S_t = cm².

Vastus. S_t = dm².

Vastus. S_t = cm².

Kolmnurkset püramiidi nimetatakse sageli tetraeedriks (kreeka keeles tettares – neli, hedra – tahk). Korrapäraseks tetraeedriks nimetatakse korrapärast kolmnurkset püramiidi, mille külgtahud on võrdsed põhjaks oleva kolmnurgaga.

Vihje

S_{t} = a^{2} \sqrt{3}

Vastus. S_t = cm².

mitu hektarit oli püramiidi põhja pindala.

Vastus. Püramiidi põhja pindala on ha.
mitu jalgpalliväljakut mõõtmetega 110 m × 75 m mahuks sellise suurusega pinnale.

Vastus. Sellise suurusega pinnale mahuks väljakut.
püramiidi külgpindala.

Vastus. Püramiidi külgpindala on m².