Püramiidi ruumala

On tõestatud, et igasuguse põhjaga püramiidi ruumala saab arvutada valemiga

$V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot H$ .

kus S_p on püramiidi põhja pindala ja H on püramiidi kõrgus.

Sõnastatult:

püramiidi ruumala võrdub ühe kolmandikuga püramiidi põhja pindala ja kõrguse korrutisest.

Meie seda valemit tõestada ei oska, sest oleme matemaatikat õppinud veel liiga vähe. Küll saame aga teha katse, mis veenab, et see valem on õige. Selleks võtame püramiidi ja prisma, mille põhjapindalad on võrdsed ja kõrgused on võrdsed (vaata joonist). Kui nüüd valada näiteks vett või kuiva liiva püramiidiga prismasse, siis kolm püramiiditäit täidab parajasti prisma.

Näide 1

Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus h = 4,5 dm ja külgtahu kõrgus m = 7,5 dm. Leiame püramiidi ruumala.

Lahendus.

Ruumala arvutamiseks on vaja teada põhja pindala, selle leidmiseks omakorda põhiserva. Et püramiidi põhi on ruut, siis põhiserv a = 2r.

Põhja apoteemi r leiame seosest r² + h² = m², millest $r = \sqrt{m^{2} - h^{2}}$ = $\sqrt{{7,5}^{2} - {4,5}^{2}}$ = 6 (dm).

Nüüd a = 2 · 6 = 12 (dm) ja püramiidi põhja pindala S_p = a² = 12² = 144 (dm²).

Seega püramiidi ruumala $V = \frac{1}{3} \cdot S_{p} \cdot h$ = $\frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 4,5$ = 216 (dm³).
Vastus. Püramiidi ruumala V = 216 dm³.