Площади подобных многоугольников

Выясним теперь подробнее, в каком отношении находятся площади двух подобных многоугольников. Начнем с треугольника.

Пусть дан некоторый треугольник АВС, высота которого равна h. Площадь этого треугольника выражается по формуле $S=\frac{AB · h}{2}$.

Умножим длины сторон АВ и АС на один и тот же множитель k. Тогда мы получим новый треугольник AEF с высотой h', причем ∆ABC ~ ∆AEF и ∆ADC ~ ∆AGF (обоснуй эти утверждения!). В силу подобия треугольников получим: АЕ = k · AB и h' = k · h. Площадь треугольника AEF равна:

 $S\text{'}=\frac{AB · h\text{'}}{2}$ = $\frac{k · AB · k · h}{2}$ = $k^2·\frac{AB · h}{2}$ = k² · S.

Поэтому S' = k² · S, или $\frac{S\text{'}}{S}=k^2$. ■

Таким образом, мы доказали cледующую теорему.

Доказательство. Разобьем каждый из данных четырехугольников на два треугольника, проведя диагонали, соединяющие соответственные вершины. Площади этих треугольников будут соответственно S₁, S₂ и S1' и S₂'. Так как четырехугольники подобны, то подобными будут и соответствующие треугольники. По теореме 1 получим, что

S₁' = k² · S₁  и  S₂' = k² · S₂.

Далее получим, что

S' = S₁' + S₂' = k² · S₁ + k² · S₂ = k² · (S₁ + S₂) = k² · S,

так как S₁ + S₂ = S.

Из равенства S' = k² · S следует требуемое, т. е. $\frac{S\text{'}}{S}=k^2$. ■