Преобразование чисел из различных систем счисления в десятичную систему

В настоящее время наряду с общепринятой десятичной системой (берущей свое начало от счета на пальцах) особое значение приобрела двоичная система. Вся электроника существенным образом основывается на принципах сигнал есть – сигнала нет, ток есть – тока нет. Истолковывая наличие сигнала как 1, а отсутствие сигнала – как 0, мы можем сделать «понятным» для компьютера любое число: для этого достаточно представить его в виде двоичного числа. Значит, нужно уметь преобразовывать числа из одной системы счисления в другую.

Рассмотрим сначала, как преобразовать в десятичную систему разрядные единицы какой-нибудь другой системы счисления. В качестве примера рассмотрим троичные разрядные единицы 10_3, 100_3 и 1000_3. Заполним следующую таблицу.

Из таблицы видно, что разрядным единицам 10_3, 100_3 и 1000_3 соответствуют в десятичной системе степени числа 3, а именно, 3^1, 3^2 и 3^3. Следовательно,

${10}_3=3_{10}^1$;

${100}_3=3_{10}^2$;

${1000}_3=3_{10}^3$;

……

Полученный результат справедлив и для любой другой системы счисления:

${\mathbf{10}}_{\mathit{n}}\mathbf{=}{\mathit{n}}_{\mathbf{10}}^{\mathbf{1}}$;

${\mathbf{100}}_{\mathit{n}}\mathbf{=}{\mathit{n}}_{\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}$;

${\mathbf{1000}}_{\mathit{n}}\mathbf{=}{\mathit{n}}_{\mathbf{10}}^{\mathbf{3}}$;

……

Проверьте справедливость этого утверждения на примере двоичной системы!

Выясним теперь, как преобразовать число, записанное в произвольной системе счисления, в десятичное число.

Как известно, всякое десятичное число можно представить в виде суммы кратных его разрядным единицам. 

Например,

432 = 4 ⋅ 100 + 3 ⋅ 10 + 2;

235 012 = 2 ⋅ 100 000 + 3 ⋅ 10 000 + 5 ⋅ 1000 + 1 ⋅ 10 + 2;

213,451 = 2 ⋅ 100 + 1 ⋅ 10 + 3 + 4 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,01 + 1 ⋅ 0,001;

Аналогичным образом представляются числа и в других системах счисления. Например,

253_6 = 2_6\cdot100_6+5_6\cdot10_6+3_6;

4251_8 = 4_8\cdot1000_8+2_8\cdot100_8+5_8\cdot10_8+1_8;

Если теперь заменить числа, полученные в правых частях последних равенств, на десятичные (т. е. попросту вычислить обычным образом значения этих сумм), то получим преобразование данных шестеричного и восьмеричного чисел в десятичные:

253_6 = 2_6\cdot100_6+5_6\cdot10_6+3_6 = 2\cdot6^2+5\cdot6+3 = 105;

4251_8 = 4_8\cdot1000_8+2_8\cdot100_8+5_8\cdot10_8+1_8 = 4\cdot8^3+2\cdot8^2+5\cdot8+1 = 2217;